Ôn tập cuối năm môn Đại số 11

\(log_2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+log_2\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow log_2\left[\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=16\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=16\)

\(\sqrt{x^2+1}=a-x\Rightarrow x^2+1=a^2-2ax+x^2\)

\(\Rightarrow2ax=a^2-1\Rightarrow x=\dfrac{a^2-1}{2a}\)

Tương tự \(\Rightarrow y=\dfrac{b^2-1}{2b}\)

\(P=x+y=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{32}\) (do \(ab=16\))

\(=\dfrac{15}{32}\left(a+b\right)\ge\dfrac{15}{32}.2\sqrt{ab}=\dfrac{15}{32}.2\sqrt{16}=\dfrac{15}{4}\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{15}{4}=3,75\) (C đúng)

Số tiền nhận được sau 10 năm là:

\(10tr.\left(1+5\%\right)^{10}=16288946\) (đồng)

Gọi A là số tiền vay (ở đây là 200tr), r% là lãi suất hàng tháng, X là số tiền hoàn nợ mỗi tháng.

Sau tháng thứ nhất, số tiền nợ ngân hàng là: \(A.\left(1+r\right)^1\) (triệu)

Sau đó trả X triệu nên số tiền nợ là: \(S_1=A\left(1+r\right)^1-X=A\left(1+r\right)^1-X.\dfrac{\left(1+r\right)^1-1}{r}\)

Cuối tháng thứ hai, số tiền nợ ngân hàng là: \(\left[A\left(1+r\right)^1-X\right].\left(1+r\right)=A\left(1+r\right)^2-X\left(1+r\right)\)

Trả tiếp X triệu nên số tiền nợ là: \(S_2=A\left(1+r\right)^2-X\left(1+r\right)-X=A.\left(1+r\right)^2-X.\dfrac{\left(1+r\right)^2-1}{r}\)

Theo quy luật trên, sau n tháng thì số tiền nợ ngân hàng là:

\(S_n=A.\left(1+r\right)^n-X.\dfrac{\left(1+r\right)^n-1}{r}\)

Do trả hết sau \(n=6\) tháng nên \(S_6=0\)

\(\Rightarrow200\left(1+1\%\right)^6-X.\dfrac{\left(1+1\%\right)^6-1}{1\%}=0\)

\(\Rightarrow X\approx34,51\) (triệu đồng)

Đặt \(log_{20}a=log_8b=log_{125}\left(5a+12b\right)=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=20^k\\b=8^k\\5a+12b=125^k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5.20^k+12.8^k=125^k\)

\(\Rightarrow5.\left(\dfrac{4}{25}\right)^k+12.\left(\dfrac{8}{125}\right)^k=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^k=x>0\)

\(\Rightarrow5x^2+12x^3=1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(4x^2+3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{5}\right)^k=\dfrac{1}{3}\)

\(P=\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{20^k}{8^k}+1=\left(\dfrac{5}{2}\right)^k+1=3+1=4\)

Đặt \(log_5x=t\) \(\Rightarrow x=5^t\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=4\\t_1t_2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=5^{t_1}.5^{t_2}=5^{t_1+t_2}=5^4=625\)