Ôn tập chương II

Số lượng số cần tìm sẽ là A⁵₉=15120(sô)

CHúng ta chỉ cần lựa ra 5 số từ 9 số {1;2;...;9} rồi sắp xếp lại là đc

Ta có: \(1\le a\le b< c\le d\le e\le9\)

\(\Rightarrow1\le a< b+1< c+1< d+2< e+3\le12\)

Đặt \(\left\{a;b+;c+1;d+2;e+3\right\}=\left\{a_1;a_2;a_3;a_4;a_5\right\}\)

Với mỗi bộ \(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5\) sẽ cho tương ứng đúng một bộ abcde và ngược lại

\(\Rightarrow\) Số chữ số dạng \(abcde\) bằng với số bộ \(a_1a_2a_3a_4a_5\) sao cho:

\(1\le a_1< a_2< a_3< a_4< a_5\le12\)

Chọn bộ 5 chữ số khác nhau từ 12 chữ số có \(C_{12}^5\) cách

Có đúng 1 cách sắp xếp 5 chữ số này theo thứ tự lớn dần

\(\Rightarrow\) Có \(C_{12}^5\) chữ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu

Có \(A^5_9=15120\left(số\right)\)

Số bất kì: \(6!-5!\) số

Xếp 0 và 5 cạnh nhau: 2 cách

Hoán vị bộ 05 với 4 chữ số còn lại: \(5!\) cách

Hoán vị bộ 05 với 4 chữ số còn lại sao cho 0 đứng đầu: \(4!\) cách

\(\Rightarrow2.5!-4!\) cách xếp sao cho 0 và 5 cạnh nhau

\(\Rightarrow6!-5!-\left(2.5!-4!\right)\) cách xếp thỏa mãn

Số số khác nhau có 3 chữ số: \(4.4.3=48\)

Chỉ có một bộ duy nhất có tổng chia hết cho 9 là 1;8;9, hoán vị 3 chữ số này có 3!=6 cách

Vậy có \(48-6=42\) số

TH1: chữ số tận cùng là 0

Chọn 1 chữ số khác 0 và 2: có 6 cách

Hoán vị 2 chữ số hàng trăm và chục: \(2!\) cách

\(\Rightarrow6.2=12\) số

TH2: chữ số tận cùng là 5

Chọn 1 chữ số khác 2 và 5: 

- Nếu chữ số đó là 0: có 1 số \(205\) thỏa mãn

- Nếu chữ số đó khác 0: có 5 cách chọn, hoán vị nó với 2 có 2 cách \(\Rightarrow2.5=10\) số

Tổng cộng: \(12+1+10=23\) số

Đề đúng thế này đúng ko nhỉ? Tức là ko yêu cầu các chữ số phân biệt?

Các trường hợp xảy ra: CCLL, CLCL, CLLC, LLCC, LCLC, LCCL

Do đó số số thỏa mãn là:

\(4.5.5.5+4.5.5.5+4.5.5.5+5.5.5.5+5.5.5.5+5.5.5.5\) số

\(f\left(x\right)=\left(m-4\right)x^2+\left(m+1\right)x+2m-1\)

\(f\left(x\right)< 0,\forall x\in R\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\m^2+2m+1-4\left(2m^2-m-8m+4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-8m^2+36m-16< 0\)

\(\Leftrightarrow-7m^2+38m-15< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(KL:m\in\left(5;+\infty\right)\)

Xét khai triển:

\(\left(x-1\right)^{2n}=C_{2n}^0-C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2+...+C_{2n}^{2n}x^{2n}\)

\(\Rightarrow x^7.\left(x-1\right)^{2n}=x^7.C_{2n}^0-x^8.C_{2n}^1+...+x^{2n+7}C_{2n}^{2n}\)

Thay \(x=2\) ta được tổng S

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-a;0\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-a;3\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-3-a;-5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\left(-4-a;-19\right)\)

\(\Rightarrow\left|2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|=\sqrt{\left(-4-a\right)^2+19^2}\ge19\)

Dấu "=" xảy ra khi \(-4-a=0\Rightarrow a=-4\) (A)

(Bản chất của đoạn dưới đây là ta đi tìm các điểm cố định P, Q sao cho \(\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\) ứng với biểu thức thứ nhất và \(3\overrightarrow{QA}-2\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}\) ứng với biểu thức thứ hai)

Gọi D là trung điểm AC, P là điểm đối xứng D qua G \(\Rightarrow\overrightarrow{PD}=-2\overrightarrow{PB}\)

Hay \(\overrightarrow{PD}+2\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}\)

Dựng hình bình hành ABQD \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DQ}\)

Đặt \(T=\left|\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

\(=\left|2\overrightarrow{MD}+4\overrightarrow{MB}\right|+3\left|2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{MD}\right|\)

\(=2\left|\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PD}+2\overrightarrow{MP}+2\overrightarrow{PB}\right|+6\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QD}\right|\)

\(=6\left|\overrightarrow{MP}\right|+6\left|\overrightarrow{MQ}\right|=6\left(MP+MQ\right)\)

Theo BĐT tam giác ta có: \(MP+MQ\ge PQ\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ

Vậy tập hợp M là đoạn thẳng PQ, với P và Q là các điểm được xác định như đã trình bày