Bài 4: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

1) Xét (O) có

\(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AD}\)

\(\widehat{MDA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MD và dây cung AD

Do đó: \(\widehat{ACD}=\widehat{MDA}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)

Xét ΔMCD và ΔMDA có

\(\widehat{MCD}=\widehat{MDA}\)(cmt)

\(\widehat{CMD}\) chung

Do đó: ΔMCD∼ΔMDA(g-g)

⇒\(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{MD}{MA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

nên \(MD^2=MC\cdot MA\)(đpcm)

Nguyễn Lê Phước Thịnh

Akai Haruma Giáo viên

giúp em với ak, ai biết giúp với

DE đâu ra thế bạn :)) 

là bài nào thế bạn :v

a)Sửa đề: BM=CN

Xét (O) có 

OB là bán kính(gt)

O là trung điểm của BC(gt)

Do đó: BC là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔBMC nội tiếp đường tròn(B,M,C∈(O))

BC là đường kính của (O)(cmt)

Do đó: ΔBMC vuông tại M(Định lí)

Xét (O) có 

ΔBNC nội tiếp đường tròn(B,N,C∈(O))

BC là đường kính của (O)(cmt)

Do đó: ΔBNC vuông tại N(Định lí)

Xét ΔBMC vuông tại M và ΔCNB vuông tại N có 

BC là cạnh chung

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔBMC=ΔCNB(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒BM=CN(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔOBM và ΔOCN có 

OB=OC(=R)

OM=ON(=R)

BM=CN(cmt)

Do đó: ΔOBM=ΔOCN(c-c-c)

Lời giải:

a) Đề đúng phải là CMR $BM=CN$.

Xét tam giác $BMC$ và $CNB$ có:

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (do $ABC$ là tam giác cân tại $A$)

$\Rightarrow \triangle BMC\sim \triangle CNB$ (g.g)

$\Rightarrow BM=CN$ (đpcm)

b) 

Xét tam giác $OBM$ và $OCN$ có:

$OB=OC=R$

$OM=ON=R$

$BM=CN$ (theo phần a)

$\Rightarrow \triangle OBM=\triangle OCN$ (c.c.c)

c) 

$\widehat{NBA}=\widehat{NBM}=\frac{1}{2}\text{số đo cung MN}$

$\widehat{MON}=\text{số đo cung MN}$

$\Rightarrow \widehat{NBA}=\frac{1}{2}\widehat{MON}$

d) 

$\widehat{BMC}=\widehat{CNB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow BN\perp AC, CM\perp AB$

$ABC$ là tam giác cân tại $A$, $O$ là trung điểm $BC$ nên đường trung tuyến $AO$ đồng thời là đường cao. Suy ra $AO\perp BC$

Như vậy $AO, BN, CM$ là 3 đường cao của tam giác $ABC$ nên $AO, BN, CM$ đồng quy (đpcm)

Hình vẽ:

Bạn tự vẽ hình 

a) Ta có AM là tia phân giác góc BAC ( gt ) => góc BAM = góc CAM 

Mà góc BAM là góc nội tiếp chắn cung BM và góc CAM là góc nội tiếp chắn cung CM nên cung BM = cung CM => dây BM = dây CM 

Ta có : \(\begin{cases} BM = CM ( cmt ) \\ OB = OC ( = R ) \end{cases} \) => OM là đường trung trực của BC  

=> OM ⊥ BC 

( hoặc dùng tính chất điểm chính giữa cung để chứng minh ) 

b) Ta có : OM ⊥ BC ( cmt ) , AH ⊥ BC tại H ( AH là đường cao của △ABC)

nên OM // AH => \(\widehat{OMA} = \widehat{MAI}\) ( cặp góc so le trong ) (1) 

Lại có OM = OA ( = R ) => △OMA cân tại O => \(\widehat{OMA} = \widehat{ OAM}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{OAM} = \widehat{MAI}\) => AM là tia phân giác góc IAD

c) Ta có góc AID = \(90^o\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 

=> AI ⊥ ID tại I 

Mà AI ⊥ BC tại H ( AH là đường cao của △ABC ) 

=> ID // BC 

Lời giải:

Xét $(O)$ ta có $\widehat{AHB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét $(O')$ ta có $\widehat{AHC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0$

$\Leftrightarrow \widehat{BHC}=180^0$ nên $B,H,C$ thẳng hàng hay $H\in BC$

Ta cũng có:

$\widehat{BMA}=\widehat{CNA}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow BM\perp AM; CN\perp AN$

Mà $A,M,N$ thẳng hàng nên $BM\parallel CN$

$\Rightarrow BMNC$ là hình thang. 

$\widehat{BMN}=\widehat{BMA}=90^0$  nên $BMNC$ là hình thang vuông. 

b) 

Xét $(O)$:

$\widehat{ABC}=\widehat{ABH}=\widehat{AMH}=\widehat{HMN}(1)$ (góc nt cùng chắn cung $AH$)

Xét $(O')$:

$\widehat{ACB}=\widehat{ACH}=\widehat{HNA}=\widehat{HNM}(2)$

(góc nt cùng chắn cung $AH$)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HMN$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{HM}{HN}=\frac{AB}{AC}$ không đổi. 

Hình vẽ: