Lời giải:
Xét $(O)$ ta có $\widehat{AHB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
Xét $(O')$ ta có $\widehat{AHC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0$
$\Leftrightarrow \widehat{BHC}=180^0$ nên $B,H,C$ thẳng hàng hay $H\in BC$
Ta cũng có:
$\widehat{BMA}=\widehat{CNA}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow BM\perp AM; CN\perp AN$
Mà $A,M,N$ thẳng hàng nên $BM\parallel CN$
$\Rightarrow BMNC$ là hình thang.
$\widehat{BMN}=\widehat{BMA}=90^0$ nên $BMNC$ là hình thang vuông.
b)
Xét $(O)$:
$\widehat{ABC}=\widehat{ABH}=\widehat{AMH}=\widehat{HMN}(1)$ (góc nt cùng chắn cung $AH$)
Xét $(O')$:
$\widehat{ACB}=\widehat{ACH}=\widehat{HNA}=\widehat{HNM}(2)$
(góc nt cùng chắn cung $AH$)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HMN$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{HM}{HN}=\frac{AB}{AC}$ không đổi.
