Chương III - Góc với đường tròn

tại sao lại đường kính OA hả bạn?

vậy tâm đường tròn là gì ?

ban thong cam co cho de the minh cung k bit

1; xét tam giác ABC ta có

BI vuông góc với AC ( giả thiết )

suy ra BIC = 90

CKvuông góc với AB (giả thiết )

suy ra CKB = 90

xét tứ giác BKIC ta có

BIC = CKB = 90 ( chứng minh trên )

mà BIC và CKB là 2 góc kề nhau cùng chắng cung BC suy ra tứ giác BKIC nội tiếp (dpcm)

2; xét (o) ta có

NMB = NCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắng cung NB )

xét tứ giác BKIC ta có

KIB = KCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắng cung KB )

suy ra NMB = KIB (cùng bằng NCB )

mà NMB và KIB nằm ở vị trí đồng vị

suy ra MN song song với IK (dpcm)

3;4 tự giải đi

IK² = IO² - R²
IH² = (MH/2)²= (MA²/2MO)² = (MO² - R²)²/(2MO)²
∆MIK cân <=> IM = IK <=> IH = IK
<=> (MO² - R²)² = 4MO²(IO² - R²)
<=> (MO² + R²)² = (2.MO.IO)²
<=> MO² + R² = 2MO.IO
<=> R² = MO(2IO - MO) = MO.HO đúng

a) Trên tia đối của tia ND, lấy điểm J sao cho ND = NJ. Gọi giao điểm của JO và DB là H.

Khi đó ADOJ là hình bình hành, suy ra JO // AD.

Vậy thì \(\widehat{DJO}=\widehat{JDA}\left(1\right)\) (so le trong).

Xét tứ giác MDBJ ta thấy nó cũng là hình bình hành nên JB // MD, từ đó \(\widehat{BJO}=\widehat{MDA}\left(2\right)\) (Hai góc có hai cạnh song song)

Xét tam giác vuông ADB : OH // AD ; AO = OB nên DH = HB và \(OH\perp BD,\) vậy thì tam giác DJB cân tại J, hay JO là phân giác. Vậy \(\widehat{DJO}=\widehat{BJO}\left(3\right)\)

Ta thấy ngay tứ giác MFDA nội tiếp nên \(\widehat{MDA}=\widehat{MFA}\left(4\right)\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Cũng lại có \(\widehat{ADJ}=\widehat{ABC}\left(5\right)\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Từ (1); (2); (3); (4) ;(5) suy ra \(\widehat{MFA}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{CAB}\) (Cùng phụ với hai góc trên)

Từ đó ta có : \(\widehat{FAB}+\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\) F, A, C thẳng hàng hay \(FC\perp BE.\)

Ta có A là giao điểm của hai đường cao BM và FC nên A là trực tâm tam giác BEF (đpcm).

Ta có: OH là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông

OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Vì trong hình vuông, 2 đường chéo đồng thời là tia phân giác

\(\Rightarrow\) OA là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\widehat{HAO}=45^o\)

Xét \(\Delta HAO\) vuông tại H có \(\widehat{HAO}=45^o\)

\(\Rightarrow\Delta HAO\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow HA=HO\)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(OA^2=HA^2+HO^2\)

\(\Leftrightarrow OA^2=2OH^2\)

\(\Rightarrow OA=OH\sqrt{2}\)

Ta có:

Diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông là \(S_1=\pi.OH^2\) (đơn vị diện tích) (1)

Diện tích đường tròn ngoại tiếp hình vuông là \(S_2=\pi.OA^2\)

mà \(OA=OH\sqrt{2}\) \(\Rightarrow S_2=\pi.2.OH^2\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) Diện tích đường tròn ngoại tiếp hình vuông bằng 2 lần diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông đó

a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔHFB vuông tại F và ΔHEC vuông tại E có 

\(\widehat{FHB}=\widehat{EHC}\)

Do đó: ΔHFB\(\sim\)ΔHEC

Suy ra: HF/HE=HB/HC

hay \(HE\cdot HB=HF\cdot HC\)