Chương III - Góc với đường tròn

a) Xét tứ giác AQMP có 

\(\widehat{AQM}\) và \(\widehat{APM}\) là hai góc đối

\(\widehat{AQM}+\widehat{APM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AQMP là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét ΔAQM vuông tại Q và ΔAPM vuông tại P có

AM chung

\(\widehat{QAM}=\widehat{PAM}\)(AM là tia phân giác của \(\widehat{QAP}\))

Do đó: ΔAQM=ΔAPM(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: QM=PM(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔMQP có QM=PM(cmt)

nên ΔMQP cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

a) Gọi G là trung điểm của BC

Ta có: ΔDBC vuông tại D(BD\(\perp\)AC tại D)

mà DG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(G là trung điểm của BC)

nên \(DG=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔEBC vuông tại E(CE\(\perp\)AB)

mà EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(G là trung điểm của BC)

nên \(EG=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Ta có: G là trung điểm của BC(gt)

nên \(BG=CG=\dfrac{BC}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GB=GC=GE=GD

hay B,C,D,E cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)

Xét tam giác ABC có:

Aˆ+Bˆ+Cˆ=180o

⇒Cˆ=180o−Aˆ−Bˆ

=180o−60o−70o=50o

Vì D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE//BC

=> DECB là hình thang

Vì DECB là hình thang nên Dˆ+Bˆ=180o

⇒Dˆ=180o−Bˆ=110o

Tương tự : Eˆ=180o−Cˆ=130o

Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))

AC là đường kính(gt)

Do đó: ΔABC vuông tại B(Định lí)

⇔AB⊥BC tại B

Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

MB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: MA=MB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: OA=OB(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: MA=MB(cmt)

nên M nằm trên đường trung trực của AB(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

⇔OM⊥AB

Ta có: OM⊥AB(cmt)

BC⊥AB(cmt)

Do đó: OM//BC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

a) Xét tứ giác AOCM có 

\(\widehat{MAO}\) và \(\widehat{MCO}\) là hai góc đối

\(\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AOCM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

nên A,O,C,M cùng nằm trên một đường tròn(đpcm)

a) Sửa đề: A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

⇔A,B,O,C∈(O')

Ta có: ΔABO vuông tại B(AB⊥OB tại B)

nên B nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔACO vuông tại C(OC⊥AC tại C)

nên C nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

⇔B,C,A,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

mà B,C,A,O∈(O')(cmt)

nên O' là tâm của đường tròn đường kính AO

hay O' là trung điểm của AO

⇔Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là OB

b) Xét (O) có

\(\widehat{ACM}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung MC

\(\widehat{MNC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{MC}\)

Do đó: \(\widehat{ACM}=\widehat{MNC}\)(Hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)

Xét ΔAMC và ΔACN có 

\(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)(cmt)

\(\widehat{MAC}\) chung

Do đó: ΔAMC∼ΔACN(g-g)

⇔\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{AN}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AC^2=AM\cdot AN\)(3)

Xét (O) có

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(AB^2=AC^2\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AB^2=AC^2=AM\cdot AN\)(đpcm)

( c = 2a )

Tham khảo : https://baitapsgk.com/lop-9/tai-lieu-day-hoc-toan-9/bai-13-trang-95-tai-lieu-day-va-hoc-toan-9-tap-2-cho-nua-duong-tron-o-duong-kinh-ab-tren-tia-doi-cua-tia-ab-lay-mot-diem-m-ve-tiep-tuyen.html

a) Xét tứ giác BIEM có 

\(\widehat{IBM}\) và \(\widehat{IEM}\) là hai góc đối

\(\widehat{IBM}+\widehat{IEM}=180^0\)(\(90^0+90^0=180^0\))

Do đó: BIEM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

⇔B,I,E,M cùng thuộc 1 đường tròn(đpcm)

b) Ta có: ABCD là hình vuông(gt)

nên BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(Định lí hình vuông)

⇔BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)

⇔\(\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

hay \(\widehat{IBE}=45^0\)

Ta có: BIEM là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{IBE}=\widehat{IME}\)(Định lí)

mà \(\widehat{IBE}=45^0\)(cmt)

nên \(\widehat{IME}=45^0\)

Vậy: \(\widehat{IME}=45^0\)