Cho tam giác \(ABC\) nhọn. CMR:
\(\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{C-A}{2}\right)\)
\(\le\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{c^2+a^2}}\right)\)
Không ai thảo luận câu này sao. T khởi động trước nhá.
Ta có: \(\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right).\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}{\sin\dfrac{C}{2}}\)
\(=\dfrac{\cos A+\cos B}{2\sqrt{\dfrac{1-\cos C}{2}}}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}}{2\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{abc}}{2\sqrt{\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{ab}}}=\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2abc^2}{c^2-\left(a-b\right)^2}\ge a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2abc^2-\left(a^2+b^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-c^2\right)\ge0\) (đúng vì tam giác ABC nhọn)
\(\Rightarrow\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\le\dfrac{b+c}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\left(2\right)\\\cos\left(\dfrac{C-A}{2}\right)\le\dfrac{c+a}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được ĐPCM.
tìm min của biểu thức : \(M=\dfrac{x+4\sqrt{x}+3}{x+4\sqrt{x}+4}\)
ĐKXĐ: x\(\ge0\)
=\(\dfrac{\left(x+4\sqrt{x}+4\right)-1}{x+4\sqrt{x}+4}\) =1 -\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\)
Ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}+2\right)^2\ge4\) với mọi x\(\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le\dfrac{1}{4}\) với mọi x\(\ge0\)
\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le1-\dfrac{1}{4}\) với mọi x\(\ge0\)
\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}\le\dfrac{3}{4}\) với mọi x\(\ge0\)
giúp mk vs nha các bạn!!
Bài I:
a) Với x=25 tmđk đề bài
Thay x=25 vào biểu thức
<=>N=\(\dfrac{1}{\sqrt{25}}+1=\dfrac{6}{5}\)
Vậy với x=25 thì N=\(\dfrac{6}{5}\)
b)\(\dfrac{1}{1-\sqrt{a}}-\dfrac{1}{1+\sqrt{a}}\)
<=>\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}-\dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a}\)
<=>\(\dfrac{1+\sqrt{a}-1+\sqrt{a}}{1-a}\)
<=>\(\dfrac{2\sqrt{a}}{1-a}\)
c)Ta có M.N>1/2
=>\(\dfrac{2\sqrt{a}}{1-a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+1>\dfrac{1}{2}\)
<=>\(\dfrac{2\sqrt{a}}{1-a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\dfrac{2\sqrt{a}}{1-a}.\dfrac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\)>\(\dfrac{1}{2}\)
<=>\(\dfrac{2}{1-\sqrt{a}}\)>\(\dfrac{1}{2}\)
<=>\(\dfrac{4}{2\left(1-\sqrt{a}\right)}>\dfrac{1-\sqrt{a}}{2\left(1-\sqrt{a}\right)}\)
=>4>1-\(\sqrt{a}\)
<=>-\(\sqrt{a}\)>3
<=>a>9
Khi M.N >1/2 thì a>9
Mai giải tiếp ...mk đang bận
Bài III)
1) Đặt \(\dfrac{1}{x+y}=a,\dfrac{1}{x-y}=b\left(Đk:x\ne+-y\right)\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{2}{3}\\a-b=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}2b=1\\a-b=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{1}{2}\\a=\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
<=>tự nhân ra rồi giải tiếp nhé...pt này dài lắm
mk ddg trg thời gian ôn thi học kỳ nên có nhiều câu hỏi nhờ các bn giúp nên các bn nhơ tả lời các câu hỏi của mk nha! cảm ơn các bạn! 
mk cũng đag cần 1 số đề ôn thi nha! có j cho mk đề với nha! mk lớp 9 và sang năm mk cx thi lên lớp 10 nên mong các bạn giúp đỡ mk nhìu !! <3
các bạn ơi giúp mình mấy câu 5, 6, 7, 9, 10 trong hình với...mình đang cần gấp ạ...cảm ơn mng nhiều ạ :*
Biết rằng phương trình :\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3m+3=0\)
(với m là tham số) có 1 nghiệm x=1. Tìm nghiệm còn lại.
Theo hệ thức Vi-et
Ta có x1=1
=>a+b+c=0
=> x2=c/a=m^2-3m+3
Thay x=1 vào pt ta có
\(1^2-2\left(m+1\right)\cdot1+m^2-3m+3=0\)
\(\Leftrightarrow1-2m-2+m^2-3m+3=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-5m+2=0\)
\(\Delta_m=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot2=25-8=17\)
Vì \(\Delta>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt
\(m_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\)
\(m_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\)
Vì pt trên có nghiệm theo Vi-ét ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=m^2-3m+3\end{matrix}\right.\)
Với m=\(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\) ta có:
\(x_2=2\left(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}+1\right)-1=6+\sqrt{17}\)
Với m=\(\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\) ta có:
\(x_2=2\left(\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}+1\right)-1=6-\sqrt{17}\)
Vậy.......................................
Cho phương trình : \(2x^{2^{ }}-6x+\left(m+7\right)=0\)
Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn \(x_1=2x_2\)
Để phương trình đã cho có nghiệm buộc \(\Delta'=b'^2-ac=9-2m-14\ge0\)
\(\Leftrightarrow-5-2m\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le-\dfrac{5}{2}\)
Do đó với \(m\le-\dfrac{5}{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm
Theo hệ thức Vi-et ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=3\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+7}{2}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Giải hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=3\end{matrix}\right.\) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=1\end{matrix}\right.\)
Thay \(x_1=2;x_2=1\) vào biểu thức (1) ta được
\(2=\dfrac{m+7}{2}\)
\(\Leftrightarrow m=-3\)(tmđk)
Vậy với m = -3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài
Cho \(a,b,c\ge0\) và \(a^2+b^2+c^2=3\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}\)
Giải:
Ta có:
\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+b^2+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+c^2\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}+a^2\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{6}{4\sqrt{2}}=\dfrac{a^3}{2\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{a^2}{2\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1+b^2}{4\sqrt{2}}+\dfrac{b^3}{2\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{b^2}{2\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{1+c^2}{4\sqrt{2}}+\dfrac{c^3}{2\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{c^2}{2\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1+a^2}{4\sqrt{2}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6}{16\sqrt{2}}}+3\sqrt[3]{\dfrac{b^6}{16\sqrt{2}}}+3\sqrt[3]{\dfrac{c^6}{16\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow P+\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\ge\dfrac{3}{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{9}{2\sqrt[6]{8}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{2\sqrt[6]{2^3}}-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{2}}-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐt cauchy-schwarz:(dạng phân thức + đa thức )
\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a^4}{a\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^4}{b\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^4}{c\sqrt{1+a^2}}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+c^2}+c\sqrt{1+a^2}}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(3+a^2+b^2+c^2\right)}}=\dfrac{9}{\sqrt{18}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thay đổi luôn thỏa mãn: \(a+b+c=1\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\)
Thôi đang rảnh, giúp bạn bài này luôn vậy!!
Giải:
Ta có:
\(VT=\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{a^2}{a+b}\right)=A+B\)
\(A+3=\dfrac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right]\)
\(\ge\dfrac{1}{2}3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a+b}\dfrac{1}{b+c}\dfrac{1}{c+a}}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
\(1^2=\left(a+b+c\right)^2\le\left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow1\le B.2\Leftrightarrow B\ge\dfrac{1}{2}\)
Từ đó ta có: \(VT\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(a+b+c\right)+b^2}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+c^2}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+a^2}{a+b}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+ac+b^2}{b+c}+\dfrac{ab+b^2+bc+c^2}{c+a}+\dfrac{ca+bc+c^2+a^2}{a+b}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2+c\left(a+b\right)}{a+b}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2}{a+b}+1\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2}{a+b}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2\ge2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2}\ge1\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
rút gọn \(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)^3}\left(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}\right)+\dfrac{3}{2\left(a+b\right)^4}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)+\dfrac{3}{\left(a+b\right)^5}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
cái này tương tự này, do dài quá nên ngại làm, bn tham khảo nhé Câu hỏi của Thiên An - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
