Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

ĐKXĐ: \(a\ne b;b\ne c\)

Áp dụng BĐt cauchy: (a>b>c => a-b;b-c>0)

\(\dfrac{2a^2}{a-b}+2\left(a-b\right)\ge2\sqrt{4a^2}=4a\)

\(\dfrac{b^2}{b-c}+b-c\ge2b\)

cộng theo vế: \(\dfrac{2a^2}{a-b}+\dfrac{b^2}{b-c}+2a-2b+b-c\ge4a+2b\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{a-b}+\dfrac{b^2}{b-c}\ge2a+3b+c\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=0 , điều này trái với ĐKXĐ nên dấu = không xảy ra

DKXD \(x\ge1;y\ge2;z\ge3\)

\(Pt\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}+2\sqrt{y-2}+2\sqrt{z-3}=x+y+z-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-2\sqrt{y-2}+1\right)+\left(z-3-2\sqrt{z-3}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=1\\\sqrt{z-3}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Thiết lập các BĐT tương tự:

\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)

Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM

Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !

1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:

\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)

TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)

\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)

Ai lm dc bai 3 chua