Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Ê t không phải cậu ta thì giải có được không?

Ta có:

\(\left(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\right)\left(1\right)\)

Giờ ta chứng minh:

\(P=\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}\)

Ta có:

\(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\dfrac{a^2}{9}\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{bc}{2a^2+bc}\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}\le\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{ca}{2b^2+ca}\right)\\\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế ta được

\(P\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\)

\(\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}.\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc\left(2a^2+bc\right)+ca\left(2b^2+ca\right)+ab\left(2c^2+ab\right)}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có

\(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}^2\le\sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}}\)

Ta có:

\(\left(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\right)\left(1\right)\)

Giờ ta chứng minh:

\(P=\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}\)

Ta có:

\(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\dfrac{a^2}{9}\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{bc}{2a^2+bc}\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}\le\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{ca}{2b^2+ca}\right)\\\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế ta được

\(P\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\)

\(\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}.\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc\left(2a^2+bc\right)+ca\left(2b^2+ca\right)+ab\left(2c^2+ab\right)}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có

\(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1998\\2x+3y+4z=5992\end{matrix}\right.\Rightarrow y+2z=1996}>3z\Rightarrow663< z< 666\)Vậy \(z\in\left\{664;665\right\}\)

Với z = 664 thì y = 668 và x = 666 loại vì x > y.

Với z = 665 thì y = 666 và x = 667 nhận.

đặt x+56=a² (a thuộc N sao)

x+113=b²(b thuộc N sao)

b²-a²=(b-a)(b+a)=57=3.19=19.3=57.1=1.57

đến đây thì dễ rồi ( buồn ngủ quá),bạn xét từng TH ra nghe

sao ko thấy hình!

@soyeon_Tiểubàng giải, @Ace Legona

c/m

nếu m khác 0 =>a(x) là Phương trình bậc 3

Pt bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm=> đúng

xét m=0

A(x) =0 nghiệm với mọi x => dpcm

\(\Delta_{x,m}=\)

Pt<=> m²(x-2)(x²+2x+4)-2mx(x-2)=0

<=> (x-2)(m²x²+2xm²+4m²-2mx)=0

luôn nhận x=2 là nghiệm