Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

Trong mp (ABC), nối MP kéo dài cắt BC kéo dài tại E

Trong mp (ACD), nối NP kéo dài cắt CD kéo dài tại F

\(\Rightarrow EF=\left(MNP\right)\cap\left(BCD\right)\)

ta có \(AN\cap QC\) ={E} (AN,QC⊂(ABC))

Mà AN ⊂ (AMN) ,QC ⊂ (QCP)

=>E∈(AMN)và(QCP)(1)

ta có \(PC\cap AM\) ={F} (PC, AM⊂(SAC))

Mà PC ⊂ (QCP) , AM⊂(AMN)

=>F∈(AMN)và(QPC)(2)

Từ (1) và(2) ta có:

EF⊂ \(\left(AMN\right)\cap\left(QCP\right)\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}M\in AB\Rightarrow M\in\left(NAB\right)\\M\in MD\Rightarrow M\in\left(MCD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}N\in CD\Rightarrow N\in\left(NCD\right)\\N\in\left(NAB\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow MN=\left(MCD\right)\cap\left(NAB\right)\)

b. (chỉ xét trong trường hợp điểm G không có gì đặc biệt)

Trong mp (BCD), nối NG cắt BD tại E

Trong mp (ABD), nối ME cắt AD tại F

\(\Rightarrow NF=\left(GMN\right)\cap\left(ACD\right)\)

(Chỉ xét trong trường hợp các điểm I, J, K nằm ở các vị trí không có gì đặc biệt)

Trong mp (ABD), nối IK kéo dài cắt BD tại E

\(\Rightarrow IE=\left(IJK\right)\cap\left(ABD\right)\)

Trong mp (BCD), nối EJ kéo dài cắt BC tại F và cắt CD tại Q

\(\Rightarrow EF=\left(IJK\right)\cap\left(BCD\right)\)

Trong mp (ABC), nối IF cắt AC tại P

\(\Rightarrow IP=\left(IJK\right)\cap\left(ABC\right)\)

Đồng thời \(PQ=\left(IJK\right)\cap\left(ACD\right)\)

Trong mp (ABC), nối MP kéo dài cắt BC tại E

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}E\in\left(BCD\right)\\E\in\left(MNP\right)\end{matrix}\right.\) 

Trong mp (ACD), nối NP kéo dài cắt CD tại F

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}F\in\left(BCD\right)\\F\in\left(MNP\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow EF=\left(MNP\right)\cap\left(BCD\right)\)

Gọi P là trung điểm AB và Q là trung điểm BC

\(\dfrac{SH}{SP}=\dfrac{SK}{SQ}=\dfrac{2}{3}\) (t/c trọng tâm) \(\Rightarrow HK||PQ\)

Trong mp (SIQ), nối IK cắt MQ tại N

Trong mp (ABC), qua N kẻ đường thẳng song song PQ cắt AB và BC lần lượt tại E và F

\(\Rightarrow EF\) là giao tuyến (IHK) và (ABC)

(Ba mặt phẳng (ABC), (IHK), (SPQ) cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt, mà 2 giao tuyến HK và PQ song song nên giao tuyến thứ 3 song song 2 giao tuyến trên. Do đó EF là giao tuyến thứ 3)

b. 

Do IM thuộc SM, H thuộc SP nên mp (IHM) cũng chính là mặt phẳng (SPM)

Mà \(PM||BC\) (do PM là đường trung bình tam giác ABC)

\(\Rightarrow\) giao tuyến của (IHM) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song BC

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

\(AM\in\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AM\) (1)

Mà \(AM\perp SD\) (gt) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow AM\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AM\perp SC\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của SD lên (SAB)

\(\Rightarrow\widehat{DSA}\) là góc giữa SD và (SAB)

\(tan\widehat{DSA}=\dfrac{SA}{AD}=1\Rightarrow\widehat{DSA}=45^0\)

c.

Kẻ \(AH\perp BD\) (3)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\\BD\in\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp BD\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAH\right)\) \(\Rightarrow\left(SAH\right)\perp\left(SBD\right)\) 

Trong mặt phẳng (SAH), kẻ \(AK\perp SH\)

\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAH:

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{SA^2}=\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{3}{2a^2}\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

O là trung điểm BD, N là trung điểm CD \(\Rightarrow\) ON là đường trung bình tam giác BCD

\(\Rightarrow ON||BC\Rightarrow ON\perp CD\)

Mà \(SO\perp\left(ABCD\right)\) (chóp đều) \(\Rightarrow SO\perp CD\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SON\right)\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AC\\SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SAC\right)\)

b. M;O;N thẳng hàng nên mp (SON) cũng là mp (SOM)

\(CD\perp\left(SON\right)\) mà \(CD||AB\Rightarrow AB\perp\left(SOM\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SMO}\) là góc giữa (SAB) và (ABCD)

\(OM=\dfrac{1}{2}BC=a\) ; \(SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=2a\)

\(sin\widehat{SMO}=\dfrac{SO}{SM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c.

\(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\)

Do \(M\in AB\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)

Lại có đường thẳng MO cắt (SCD) tại N

Mà \(MN=2ON\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

Trong tam giác SON, từ O kẻ \(OH\perp SN\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)

\(ON=\dfrac{1}{2}BC=a\)

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{ON^2}\Rightarrow OH=\dfrac{SO.ON}{\sqrt{SO^2+ON^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=2OH=a\sqrt{3}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Trong mp đáy, qua B kẻ đường thẳng song song AC, lần lượt cắt DA và DC kéo dài tại E và F

\(\Rightarrow AC||\left(SEF\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SEF\right)\right)=d\left(A;\left(SEF\right)\right)\)

Gọi I là giao điểm AC và BD

Theo định lý Talet: \(\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{DC}{AB}=3\Rightarrow\dfrac{ID}{BD}=\dfrac{3}{4}\)

Cũng theo Talet: \(\dfrac{DA}{DE}=\dfrac{DI}{DB}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AD=\dfrac{3}{4}DE\Rightarrow AE=\dfrac{1}{4}DE\)

\(\Rightarrow d\left(A;\left(SEF\right)\right)=\dfrac{1}{4}d\left(D;\left(SEF\right)\right)\)

Trong tam giác vuông EDF, kẻ \(DH\perp EF\) , trong tam giác vuông SDH, kẻ \(DK\perp SH\)

\(\Rightarrow DK\perp\left(SEF\right)\Rightarrow DK=d\left(D;\left(SEF\right)\right)\)

\(DE=\dfrac{4}{3}AD=\dfrac{4a}{3}\); \(DF=\dfrac{4}{3}DC=4a\)

\(\dfrac{1}{DH^2}=\dfrac{1}{DE^2}+\dfrac{1}{DF^2}=\dfrac{5}{8a^2}\)

\(\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{SD^2}+\dfrac{1}{DH^2}=\dfrac{1}{48a^2}+\dfrac{5}{8a^2}\Rightarrow DK=\dfrac{4a\sqrt{93}}{31}\)

\(\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=\dfrac{1}{4}DK=\dfrac{a\sqrt{93}}{31}\)