Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

Ta có: \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AD\) (1)

Mà \(AD\perp AB\)  (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)

b.

Ta có: \(SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)

\(OH=\dfrac{1}{2}BC=a\sqrt{2}\Rightarrow SO=\sqrt{SH^2+OH^2}=a\sqrt{5}\)

Do \(OH||AD\) (đường trung bình) \(\Rightarrow OH||\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(O;\left(SAD\right)\right)=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HK\perp SA\Rightarrow HK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAD\right)\right)=d\left(O;\left(SAD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{SH^2}\Rightarrow HK=\dfrac{SH.AH}{\sqrt{SH^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Gọi \(\alpha\) là góc giữa SO và (SAD)

\(\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{d\left(O;SAD\right)}{SO}=\dfrac{HK}{SO}=\dfrac{\sqrt{15}}{10}\)

\(\Rightarrow\alpha\approx22^047'\)

Định chụp hình cơ cơ mà khá khó nhìn nên thoi đánh máy, bạn cố hiểu nhé

Từ H kẻ đường thẳng song song với ME cắt BC ở K

Từ K kẻ đường thẳng song song với EN cắt CD ở I

Nối I với H ta được mp (P) cần tìm

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in HK\subset\left(HKI\right);K\in BC\subset\left(BCD\right)\\I\in KI\subset\left(HKI\right);I\in CD\subset\left(BCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(HKI\right)\cap\left(BCD\right)=KI\Rightarrow\left(P\right)\cap\left(BCD\right)=KI\)

Ta co \(\left\{{}\begin{matrix}H\in HK\subset\left(HKI\right);H\in AB\subset\left(ABD\right)\\KI//AB\end{matrix}\right.\)

=> Giao tuyen cua (P) va (ABD) la duong thang ua H va song song voi BD

😭

\(\left\{{}\begin{matrix}BO\cap\left(SAD\right)=D\\BD=2OD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(O;\left(SAD\right)\right)\)

Gọi M là trung điểm AD \(\Rightarrow OM\perp AD\Rightarrow AD\perp\left(SOM\right)\)

Trong mp (SOM), từ O kẻ \(OH\perp SM\Rightarrow OH\perp\left(SAD\right)\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SAD\right)\right)\)

\(OD=\dfrac{1}{2}\sqrt{BC^2+CD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO^2=SD^2-OD^2=16a^2\)

\(OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OM^2}=\dfrac{1}{16a^2}+\dfrac{4}{a^2}=\dfrac{65a^2}{16}\)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{4a\sqrt{65}}{65}\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{8a\sqrt{65}}{65}\)

Do O là giao điểm 2 đường chéo \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC và BD

Tam giác SAC cân tại S \(\Rightarrow SO\) là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow SO\perp AC\) (1)

Tương tự ta có \(SO\perp BD\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)

b. Ta có \(AC\perp BD\) nên tam giác OBC vuông tại O

\(\Rightarrow OE=BE=\dfrac{1}{2}BC\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Mà \(\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=60^0\Rightarrow\Delta BCD\) đều

\(\Rightarrow BD=BC\Rightarrow OB=BE=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow OB=OE=BE\)

\(\Rightarrow\Delta OBE\)  đều \(\Rightarrow OF\perp BC\) (trung tuyến tam giác đều đồng thời là đường cao)

Mà \(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SOF\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SOF\right)\)

Có ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương, nên các đường chéo của mỗi mặt bên phải bằng nhau=> A'C'=A'D=DC'

=> tam giác A'C'D là tam giác đều=> Góc giữa đường thẳng A'C' và A'D là 60 độ