O là trung điểm BD, N là trung điểm CD \(\Rightarrow\) ON là đường trung bình tam giác BCD
\(\Rightarrow ON||BC\Rightarrow ON\perp CD\)
Mà \(SO\perp\left(ABCD\right)\) (chóp đều) \(\Rightarrow SO\perp CD\)
\(\Rightarrow CD\perp\left(SON\right)\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AC\\SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(SAC\right)\)
b. M;O;N thẳng hàng nên mp (SON) cũng là mp (SOM)
\(CD\perp\left(SON\right)\) mà \(CD||AB\Rightarrow AB\perp\left(SOM\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SMO}\) là góc giữa (SAB) và (ABCD)
\(OM=\dfrac{1}{2}BC=a\) ; \(SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=2a\)
\(sin\widehat{SMO}=\dfrac{SO}{SM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
c.
\(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\)
Do \(M\in AB\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)
Lại có đường thẳng MO cắt (SCD) tại N
Mà \(MN=2ON\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
Trong tam giác SON, từ O kẻ \(OH\perp SN\Rightarrow OH\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow OH=d\left(O;\left(SCD\right)\right)\)
\(ON=\dfrac{1}{2}BC=a\)
\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{ON^2}\Rightarrow OH=\dfrac{SO.ON}{\sqrt{SO^2+ON^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=2OH=a\sqrt{3}\)
