a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
\(AM\in\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AM\) (1)
Mà \(AM\perp SD\) (gt) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow AM\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AM\perp SC\)
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của SD lên (SAB)
\(\Rightarrow\widehat{DSA}\) là góc giữa SD và (SAB)
\(tan\widehat{DSA}=\dfrac{SA}{AD}=1\Rightarrow\widehat{DSA}=45^0\)
c.
Kẻ \(AH\perp BD\) (3)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\\BD\in\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp BD\) (4)
(3);(4) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAH\right)\) \(\Rightarrow\left(SAH\right)\perp\left(SBD\right)\)
Trong mặt phẳng (SAH), kẻ \(AK\perp SH\)
\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD:
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAH:
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{SA^2}=\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{3}{2a^2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
