Bài 3: Bất phương trình một ẩn

bđt\(\Leftrightarrow2x+2y+2xy-2\le2x^2+2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

bất đẳng thức cuối luôn đúng=> bđt đầu luôn đúng

Ta có:

m²+n²+p²+q²+1-mn+mp+mq+m

\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)

\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)

mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)

=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)

<=> m²+n²+p²+q²+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)

<=> m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) mn+mp+mq+m

<=> m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) m(n+p+q+1)

Vậy m²+n²+p²+q²+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q

Giải:

Ta có:

\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2\ne0\\2-x\ne0\\x^2-4\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ne-2\end{matrix}\right.\)

Pt \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(x-2\right)}{x^2-4}+\dfrac{-5\left(x+2\right)}{x^2-4}=\dfrac{2x-3}{x^2-4}\)

\(\Leftrightarrow x-2-5x-10=2x-3\)

\(\Leftrightarrow x-5x-2x=10+2-3\)

\(\Leftrightarrow-6x=9\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}\) ( thỏa mãn)

Vậy nghiệm của pt là \(x=\dfrac{-3}{2}\)

A sai vì:

Nếu a=-3 b=2 thì a<b nhưng a²>b

(chứng minh 1 mệnh đề sai chỉ cần đưa ra 1 ví dụ trái mệnh đề)

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương:

\(x^2+y^2\ge2xy\) với mọi x,y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=1

=>2A= x²+y²+(x²+y²) \(\ge\)x²+y²+2xy=(x+y)²=1

<=> A\(\ge\)0,5(do x+y=1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y và x+y=1 <=>x=y=0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0,5 đạt tại x=y=0,5

\(a^2+b^2+ab< 1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)< a-b\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3< a-b=a^3+b^3\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3-a^3-b^3< 0\)

\(\Leftrightarrow-2b^3< 0\) (đúng)

\(A=\dfrac{T}{M}\)

\(M=x^3-x^2-x-2=\left(x^3-8\right)-\left(x^2-4x+4\right)-5\left(x-2\right)\)

\(M=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x-2\right)^2-5\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4-x+2-5\right)\)

\(M=\left(x-2\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Điều kiện tồn tại A (x khác 2)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{x^2+x+1}\)

\(\dfrac{1}{A}=x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{4}{3}\)

đạt được khi x=-1/2 thỏa mãn đk

Đọc không ra. Học cách viết đề đi b

B = 4*(x+y)/x + 9*(x+y)/y

= 4x/x + 4y/x + 9x/y +9y/y

= 4y/x + 9x/y +13

= (4y^2 + 9x^2)/xy + 13