Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải bằng nguyên lý Di-rich-le:

Đấu thủ chưa được thưởng cuốn vở nào ngỗi ghế số 0, đấu thủ nào được một cuốn vở ngồi ghế số 1, đấu thủ nào được thưởng hai cuốn vở thì ngồi ghế số 2…

Giả sử cả 5 chiếc ghế đều có người ngồi thì ghế số 0 và ghế số 4 đều có người. Điều này vô lí vì nếu có 1 người chưa đấu trận nào thì chưa thể có ai đã đấu được 4 trận.

Vậy trong 5 chếc ghế phải có ít nhất 1 cái bị bỏ trống. Bỏ bớt chiếc ghế đó đi ta thấy số người luôn nhiều hơn số ghế. Do đó, lúc nào cũng phải có ít nhất 1 chiếc ghế có 2 người ngồi.

Suy ra, lúc nào cũng phải có ít nhất 2 bạn được thưởng cùng một số vở.

bc???

2.\(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}>2\) (ĐKXĐ: \(x\ne0;2\))

\(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{x+2}{x}>2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(x-2\right)x}+\dfrac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)x}>\dfrac{2x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)x}\\ \Rightarrow x^2+x^2-4>2x^2-4x\)

\(\Leftrightarrow-4>-4x\Leftrightarrow x>1\)

vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{x|x>1;x\ne2\right\}\)

a) Ta có:

\(\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4(*)

\(\Leftrightarrow\) a² \(\geq\) 4.(a-1)

\(\Leftrightarrow\) a² \(\geq\) 4a-4

\(\Leftrightarrow\) a²-4a+4 \(\geq\) 0

\(\Leftrightarrow\) (a-2)² \(\geq\) 0(**)

Ta có BĐT(**) luôn đúng nên suy ra BĐT(*) luôn đúng

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=2

B) Áp dụng câu a ta được:

\(\dfrac{4a^2}{a-1}=4.\dfrac{a^2}{a-1}\) \(\geq\) 4.4=16(1)

\(\dfrac{5b^2}{b-1}=5.\dfrac{b^2}{b-1}\) \(\geq\) 5.4=20(2)

\(\dfrac{3c^2}{c-1}=3.\dfrac{c^2}{c-1}\) \(\geq\) 3.4=12(3)

Cộng các BĐT(1),(2),(3) ta được

\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\) \(\geq\) 16+20+12=48

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2

Đặt A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\)

Áp dụng BĐT đã CM ta có:

A= \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 4.4+8.4+12.4=16+32+48=96

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{8b^2}{b-1}+\dfrac{12c^2}{c-1}\) \(\geq\) 96

hay A \(\geq\) 96

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=2

Vậy Min_A=96 khi và chỉ khi a=b=c=2

a)

Ta có :

\(\dfrac{a^2}{a-1}\ge4\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a-1}\ge\dfrac{4a-4}{a-1}\left(\forall a-1\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (2)

BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) luôn đúng

Dấu bằng xảy ra chỉ khi và khi a = 2

uh đúng rồi
tag t zô chi?

\(x^2-6x+9=25\\ \Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=5^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=5\\x-3=-5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=-2\end{matrix}\right.\)

vậy tập nghiệm của phương trình là S={-2;7}

Ta có:a²+b²+2017 \(\geq \) 18a+88b(1)

\(\Leftrightarrow\) a²+b²+9²+44² \(\geq \) 18a+88b

\(\Leftrightarrow\) a²+b²+9²+44²-18a-88b \(\geq \) 0

\(\Leftrightarrow\) (a²-2.a.9+9²)+(b²-2.b.44+44²) \(\geq \) 0

\(\Leftrightarrow\) (a-9)²+(b-44)² \(\geq \) 0(2)

Ta có BĐT(2) luôn đúng với mọi a,b nên suy ra BĐT(1) luôn đúng với mọi a,b

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases} a=9\\ b=44 \end{cases}\)

Vậy BĐT (1) luôn đúng với mọi a,b

\(A=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x-1+x\)

\(=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+\left(1-x\right)+\left(x-1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si với 4 số dương : \(\dfrac{3}{1-x};\dfrac{4}{x};1-x;x>0\)

Ta có : \(\dfrac{\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x}{4}\ge\sqrt[4]{\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}+1-x+x}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{3}{1-x}=\dfrac{4}{x}=1-x=1\)

Vậy.....

Cậu coi thử đúng không chứ mình mới học BĐT cách đây 2 tiếng thôi nên không biết đúng hay sai .

Thông cảm !

ta có P=(a+b)(\(\dfrac{a+b}{ab}\))

<=>P=(a+b)^2:ab(ab khác 0)

vì(a+b)^2 luôn >=0 vs mọi a,b

a,b cùng dấu=>ab>0

vậy Pmin=0 khi (a+b)^2=0

Ta có: (a+b)(\(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) ) = 1+ \(\dfrac{a}{b}\) + \(\dfrac{b}{a}\) +1

= 2 + ( \(\dfrac{a}{b}\) + \(\dfrac{b}{a}\) )

= 2 + \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

Ta lại có: (a-b)² \(\ge\) 0 <=> a²- 2ab + b² \(\ge\) 0

<=> a² + b² \(\ge\) 2ab

=> \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\) 2 ( cái này người ta gọi là bất đẳng thức Cô-si nhé, ko cần c/m)

=> 2+ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\) 4

=> (a+b)(\(\dfrac{1}{a}\) +\(\dfrac{1}{b}\) ) \(\ge\) 4

Dấu bằng xảy ra <=> a=b

Vậy GTNN của biểu thức là 4 khi a = b