Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC. M là trung điểm của HC. Đường thẳng vuông góc với DM tại M cắt AB tại I. Chứng minh rằng IA=IB
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của D trên AC. M là trung điểm của HC. Đường thẳng vuông góc với DM tại M cắt AB tại I. Chứng minh rằng IA=IB
Cho hình chữ nhật ABCD kéo dài BC và AD thêm những đoạn thẳng CE=DF=DC
kéo dài DC đoạn thẳng CH=BC
Nối A với E,F với H
Cho tam giác ABC(AB<AC), đường cao AH. GỌi M, N, P lần lượt là là trung điểm các cạnh BC, CA,AB. Chứng minh rằng:
a, NP là đường trung trực của AH
b,tứ giác MNPH là hình thang câna: ta có: ΔAHB vuông tại H
mà HP là đường trung tuyến
nên HP=AB/2=AP(1)
Ta có: ΔAHC vuông tại H
mà HN là đường trung tuyến
nên HN=AC/2=AN(2)
Từ (1) và (2) suy ra NP là đường trung trực của AH
b: Xét ΔABC có
P là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Do đó: PN là đường trung bình
=>PN//BC
hay PN//HM
Xét ΔABC có
P là trung điểm của AB
M là trung điểm của BC
Do đó: PM là đường trung bình
=>PM=AC/2=HN
Xét tứ giác HPNM có PN//HM
nên HPNM là hình thang
mà HN=PM
nên HPNM là hình thang cân
cho hình chữ nhật abcd. Nối C với điểm E trên BD. Trên tia đối của EC, lấy F sao cho E trung điểm CF. Vẽ FH vuông góc AB, FK vuông góc AD. Chứng minh
a) AHFK là hình chữ nhật
b) AF//BD, HK//AC
c) E, H, K thẳng hàng
a)Xét tứ giác AHFK có góc AHF=90(gt), góc HAK=90(gt), góc AKF=90(gt)
=> tứ giác AHFK là hcn
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của HK và AF
Xét tam giác CAF có CO=OA(gt), CE=EF(gt)
=>OE là đường trung bịnh của tam giác CÀ
=>OE//AF hay BD//AF
Ta có OA=OD(ABCD là hcn)
=> tam giác OAD cân tại O
=>góc OAD=góc ODA
Mà góc ODA=góc FAD(so le trong)
=>góc OAD=góc FAD hay góc CAD=góc MAK(1)
Ta lại có MA=MK(AHFK là hcn)
=>tam giác MAK cân tại M
=>góc MAK= góc MKA(2)
Từ (1) và (2)=>góc CAD=góc MKA hay góc CAD=góc HKA
=>AC//HK(có cặp góc slt bằng nhau)
c)Xét tam giác FAC có FM=MA(AHFK là hcn), FE=EC(gt)
=>ME là đường trung bình của tam giác FAC
=>ME//AC(3)
Mà HK//AC(cmt)(4)
Mặt khác M thuộc AC(5)
Từ (3),(4) và (5)=> H,K,E thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông góc ở A,ở đường trung tuyến AD kẻ DH song song AC và DK song song AB( H thuộc AB,K thuộc AC).Chứng Minh:
a) H là trung điểm của AB và K là trung diểm của AC.
b)Tứ giác AHDK là hình chữ nhật.
a: Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DH//AC
Do đó: H là trung điểm của AB
Xét ΔBAC có
D là trung điểm của BC
DK//AB
Do đó: K là trung điểm của AC
b: Xét tứ giác AKDH có
DH//AK
DK//AH
Do đó: AKDH là hình bình hành
mà \(\widehat{KAH}=90^0\)
nên AKDH là hình chữ nhật
Cho tam giác ABC cân tại A . Các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G .Chứng minh
a,AG vuông góc BC
b,Gọi F ,H lần lượt là trung điểm của BG,CG.Chứng minh ED song song FH, ED=FH
c,EF vuông góc ED
d,Tứ giác DEFH là hình gì ?Tại sao?
a: Xét ΔEBC và ΔDCB có
EB=DC
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
BC chung
DO đó:ΔEBC=ΔDCB
Suy ra: \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)
hay ΔGBC cân tại G
=>GB=GC
mà AB=AC
nên AG là đường trung trực của BC
hay AG\(\perp\)BC
b: Xét ΔABC có
E là trung điểm của AB
D là trung điểm của AC
Do đó: ED là đường trung bình
=>ED//BC và ED=BC/2(1)
Xet ΔGBC có
F là trung điểm của GB
H là trung điểm của GC
Do đó: FH là đường trung bình
=>FH//BC và FH=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra ED//FH và ED=FH
Tam giác MNI cân tại N, có 2 trung tuyến IA và MB cắt nhau tại K. Gọi C,D theo thứ tự là trung điểm của các cạch KI, MK
a, Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật
b, Biết MI=18cm NK=12cm. Tính chu vi hình chữ nhật ABCD
a: Xét ΔAMI và ΔBIM có
AM=BI
\(\widehat{AMI}=\widehat{BIM}\)
IM chung
Do đó; ΔAMI=ΔBIM
SUy ra: \(\widehat{KIM}=\widehat{KMI}\)
=>ΔKMI cân tại K
=>KM=KI
mà NM=NI
nên NK là đường trung trực của MI
=>NK\(\perp\)MI
Xét ΔNMF có
A là trung điểm của NM
B là trung điểm của NI
Do đó:AB là đường trung bình
=>AB//MI và AB=MI/2(1)
Xét ΔKMI có
D là trung điểm của KM
C là trung điểm của KI
Do đó:DC là đường trung bình
=>DC//MI và DC=MI/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB//DC và AB=DC
Xét ΔNMK có
A là trung điểm của NM
D là trung điểm của MK
Do đó: AD là đường trung bình
=>AD//NK và AD=NK/2
Ta có: AB//MI
nên MI\(\perp\)NK
nên AB\(\perp\)NK
mà AD//NK
nên AB\(\perp\)AD
Xét tứ giác ABCD có
AB//CD
AB=CD
Do đó:ABCD là hình bình hành
mà \(\widehat{BAD}=90^0\)
nên ABCD là hình chữ nhật
b: AB=MI/2=9(cm)
AD=NK/2=6(cm)
\(S=AB\cdot AD=54\left(cm^2\right)\)
cho tam giac nhon abc (ab<ac) ah la duong cao m n p lan luot la trung diem ab ac bc goi la diem doi xung cua h qua m cm dahd la hinh chu nhat tim them dieu kien cua de tam giac abc de ampn la hinh chu nhat
Cho hình chữ nhật có góc BDC=300 , qua c kẻ đường thẳng vuông góc cới BD cắt BD ở E và cắt tia phân giác của góc ADB ở M. Gọi N là hình chiếu của M trên DA,K là hình chiếu của M trên AB.CMR
a,AMBD là hình thang cân
b, 3 điểm N,K,E thẳng hàng
Bài tập: \(\Delta\)ABC có đường cao là AH. N, M, P lần lượt là trung điểm của AC, AB, BC.
a)ANPM là hình bình hành
b)Lấy K đối xứng H qua M. Chứng minh: AHBK là hình chữ nhật
c) Chứng minh: MNPH là hình thang cân
d) Tìm điều kiện để AMPN là hình chữ nhật
Cần giải câu d
a: Xét ΔABC có
P là trung điểm của BC
M là trung điểm của AB
Do đó: PM là đường trung bình
=>PM//AN và PM=AN
Xét tứ giác AMPN có
PM//AN
PM=AN
Do đó: AMPN là hình bình hành
d: Để AMPN là hình chữ nhật thì \(\widehat{MAN}=90^0\)