Bài 9: Hình chữ nhật

a: ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HP là đường trung tuyến

nên HP=AB/2=AP(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=AC/2=AN(2)

Từ (1) và (2) suy ra NP là đường trung trực của AH

b: Xét ΔABC có 

P là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: PN là đường trung bình

=>PN//BC

hay PN//HM

Xét ΔABC có

P là trung điểm của AB

M là trung điểm của BC

Do đó: PM là đường trung bình

=>PM=AC/2=HN

Xét tứ giác HPNM có PN//HM

nên HPNM là hình thang

mà HN=PM

nên HPNM là hình thang cân

a)Xét tứ giác AHFK có góc AHF=90(gt), góc HAK=90(gt), góc AKF=90(gt)

=> tứ giác AHFK là hcn

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của HK và AF

Xét tam giác CAF có CO=OA(gt), CE=EF(gt)

=>OE là đường trung bịnh của tam giác CÀ

=>OE//AF hay BD//AF

Ta có OA=OD(ABCD là hcn)

=> tam giác OAD cân tại O

=>góc OAD=góc ODA

Mà góc ODA=góc FAD(so le trong)

=>góc OAD=góc FAD hay góc CAD=góc MAK(1)

Ta lại có MA=MK(AHFK là hcn)

=>tam giác MAK cân tại M

=>góc MAK= góc MKA(2)

Từ (1) và (2)=>góc CAD=góc MKA hay góc CAD=góc HKA

=>AC//HK(có cặp góc slt bằng nhau)

c)Xét tam giác FAC có FM=MA(AHFK là hcn), FE=EC(gt)

=>ME là đường trung bình của tam giác FAC

=>ME//AC(3)

Mà HK//AC(cmt)(4)

Mặt khác M thuộc AC(5)

Từ (3),(4) và (5)=> H,K,E thẳng hàng

a: Xét ΔABC có 

D là trung điểm của BC

DH//AC
Do đó: H là trung điểm của AB

Xét ΔBAC có

D là trung điểm của BC

DK//AB

Do đó: K là trung điểm của AC

b: Xét tứ giác AKDH có 

DH//AK

DK//AH

Do đó: AKDH là hình bình hành

mà \(\widehat{KAH}=90^0\)

nên AKDH là hình chữ nhật

a: Xét ΔEBC và ΔDCB có 

EB=DC

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

BC chung

DO đó:ΔEBC=ΔDCB

Suy ra: \(\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)

hay ΔGBC cân tại G

=>GB=GC

mà AB=AC

nên AG là đường trung trực của BC

hay AG\(\perp\)BC

b: Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình

=>ED//BC và ED=BC/2(1)

Xet ΔGBC có 

F là trung điểm của GB

H là trung điểm của GC

Do đó: FH là đường trung bình

=>FH//BC và FH=BC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra ED//FH và ED=FH

a: Xét ΔAMI và ΔBIM có

AM=BI

\(\widehat{AMI}=\widehat{BIM}\)

IM chung

Do đó; ΔAMI=ΔBIM

SUy ra: \(\widehat{KIM}=\widehat{KMI}\)

=>ΔKMI cân tại K

=>KM=KI

mà NM=NI

nên NK là đường trung trực của MI

=>NK\(\perp\)MI

Xét ΔNMF có

A là trung điểm của NM

B là trung điểm của NI

Do đó:AB là đường trung bình

=>AB//MI và AB=MI/2(1)

Xét ΔKMI có 

D là trung điểm của KM

C là trung điểm của KI

Do đó:DC là đường trung bình

=>DC//MI và DC=MI/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB//DC và AB=DC

Xét ΔNMK có

A là trung điểm của NM

D là trung điểm của MK

Do đó: AD là đường trung bình

=>AD//NK và AD=NK/2

Ta có: AB//MI

nên MI\(\perp\)NK

nên AB\(\perp\)NK

mà AD//NK

nên AB\(\perp\)AD

Xét tứ giác ABCD có 

AB//CD

AB=CD
Do đó:ABCD là hình bình hành

mà \(\widehat{BAD}=90^0\)

nên ABCD là hình chữ nhật

b: AB=MI/2=9(cm)

AD=NK/2=6(cm)

\(S=AB\cdot AD=54\left(cm^2\right)\)

a: Xét ΔABC có 

P là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: PM là đường trung bình

=>PM//AN và PM=AN

Xét tứ giác AMPN có 

PM//AN

PM=AN

Do đó: AMPN là hình bình hành

d: Để AMPN là hình chữ nhật thì \(\widehat{MAN}=90^0\)