cho một đường tròn (O;R) từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn.
a, chứng minh ABOC nội tiếp.
b,D là trung điểm AC và BD cắt đường tròn tại E, AE cắt đường tròn tại F. Chứng minh AB2= AE•AF
c, i là giao điểm ao với (o) chứng minh BC=CF
a: Xét tứ giác ABOC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
=>ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔABE và ΔAFB có
góc ABE=góc AFB
góc BAE chung
=>ΔABE đồng dạng với ΔAFB
=>AB/AF=AE/AB
=>AB^2=AF*AE
Cho tam giác ABC vuông tại C có ABC = 60° Dựng tam giác cân BEC ra phía ngoài tam giác ABC sao cho BEC = 150°. Gọi D là điểm đối xứng với C qua AB, F là giao điểm của AB và DE, G là giao điểm của AB và CD.
1) Chứng minh tứ giác ABEC nội tiếp.
2) Tính số đo góc BED.
3) Chứng minh hai đường thẳng BC và FG song song.
1: Xét tứ giác ABEC có
góc A+góc E=180 độ
=>ABEC là tứgiác nội tiếp
2: Vì ABEC là tứ giác nội tiếp
nên E nằm trên đường tròn đường kính BC
=>góc BED=90 độ-góc ABC=30 độ
3: Vì EB=EC
nên góc CDE=góc EAB
=>góc GDF=góc GAF
=>AGFD là tứ giác nội tiếp
=>góc DGF=góc DAF
=>góc DAB=góc DCB
=>GF//BC
a: Xét (I) có
ΔADH nội tiếp
AH là đường kính
=>ΔADH vuông tại D
Xét (I) có
ΔAEH nội tiếp
AH là đường kính
=>ΔAEH vuông tại E
Xét tứ giác ADHE có
góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ
=>ADHE là hình chữ nhật
b: ADHE là hình chữ nhật
=>góc AED=góc AHD=góc ABC
=>góc DBC+góc DEC=180 độ
=>BDEC là tứ giác nội tiếp
c: góc EDM=90 độ
=>góc EDH+góc MDH=90 độ
=>góc MDH=góc MHD
=>MH=MD và góc MDB=góc MBD
=>MH=MB
=>M là trung điểm của BH
góc NED=90 độ
=>góc NEH+góc DEH=90 độ
=>góc NEH=góc NHE
=>NE=NH và góc NEC=góc NCE
=>NH=NE=NC
=>N là trung điểm của HC
a: Xet ΔAME và ΔAFM có
góc AME=góc AFM
góc MAE chung
=>ΔAME đồng dạng vơi ΔAFM
=>AM/AF=AE/AM
=>AM^2=AE*AF
b: Xét tứ giác AMON có
góc OMA+góc ONA=180 độ
=>OMAN là tứ giác nội tiếp
. Cho (O), đường kính AB, I là điểm nằm giữa 2 điểm O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại I cắt đường tròn tại 2 điểm C và D. Lấy điểm H thuộc cung BC nhỏ, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H cắt đường thẳng CD tại S
a) Nối AH cắt CD tại K. Chứng minh: T/g BHKI nội tiếp
b) C/m: SK = SH c) C/m: SC.SD = SH2
a: Xét (O) có
ΔAHB nội tiếp
AB là đường kinh
=>ΔAHB vuông tại H
Xét tứ giác BHKI có
góc BHK+góc BIK=180 độ
=>BHKI là tứ giác nội tiếp
b: góc SKH=1/2(sđ cung CH+sđ cung AD)
=1/2(sđ cung CH+sđcung AC)
=1/2*sđ AH
=góc SHK
=>SK=SH
c: Xét ΔSHC và ΔSDH có
góc SHC=góc SDH
góc HSC chung
=>ΔSHC đồng dạng với ΔSDH
=>SH/SD=SC/SH
=>SH^2=SD*SC
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (o) đường kính Ak, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại. Gọi M là trung điểm BC.
a) Cm: Tứ giác DMEF nội tiếp
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R).Vẽ tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MEF với đường tròn (O).(A, B là 2 tiếp điểm, ME<MF, tia MF nằm giữa hai tia Ma, MO).Dây AC song song EF. Gọi I là giao điểm BC và EF.cm I là trung điểm EF
*Mấu chốt bài này là c/m 5 điểm M,A,I,O,B nằm trên cùng 1 đg tròn.
- Ta có: △OAM vuông tại A, △OBM vuông tại B.
\(\Rightarrow\)△OAM, △OBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\)AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM (1).
- Ta có AC//EF \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{MIB}\) (2 góc so le trong).
- Trong (O) có:
\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB.
\(\widehat{MAB}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MA và dây cung AB.
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{MAB}\)
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MIB}\). Do đó AIBM nội tiếp (2). (2 góc cùng nhìn 1 cạnh bằng nhau).
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\)A,M,B,O,I cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\)△OIM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\)△OIM vuông tại I nên OI vuông góc với EF tại I.
Trong (O): EF là dây cung, OI là 1 phần đường kính, \(OI\perp EF\) tại I..
\(\Rightarrow\)I là trung điểm EF (đpcm).
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp b) Chứng minh AC^2= AF. AB+CD.CB c) Qua A kẻ đường thẳng x//EF. Chứng minh x là tiếp tuyến đường tròn tâm O
a: Xét tư giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
c: góc OAF+góc AFE
=góc OBA+góc ACB
=(180 độ-góc AOB)/2+1/2góc AOB
=90 độ
=>EF vuông góc OA
=>OA vuông góc x
=>x là tiếp tuyến của (O)
