1.Chứng minh
(m-2).\(\sqrt{\dfrac{5m}{4-m}}=-\sqrt{\dfrac{5m\left(2-m\right)}{2+m}}\)
1.Chứng minh
(m-2).\(\sqrt{\dfrac{5m}{4-m}}=-\sqrt{\dfrac{5m\left(2-m\right)}{2+m}}\)
Đưa thừa số vào trong dấu căn :
1) ab\(^4\sqrt{a}\) với a ≥ 0
2) -2ab\(^2\sqrt{5a}\) với a ≥ 0
\(C=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}\) với a, b là các số dương. rút gọn biểu thức C. đây là nâng cao ạ...ai cx đc giải giùm mk với...mơn's'x's'x ạ..... đi học thêm mà gặp bài zầy ko à....giúp mình mai nộp òi........
\(C=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\)
\(=\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}.\sqrt{a}.\sqrt{b}-\sqrt{b}.\sqrt{b}.\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{ab}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ =2\sqrt{b}\)
Đưa thừa số vào trong dấu căn :
1) ab\(^4\sqrt{a}\)  với a ≥ 0
2) -2ab\(^2\sqrt{5a}\) với a ≥ 0
1) \(ab^4\sqrt{a}=\sqrt{\left(ab^4\right)^2a}=\sqrt{a^2b^8a}=\sqrt{a^3b^8}\)
2) \(-2ab^2\sqrt{5a}=-\sqrt{\left(-2ab^2\right)^25a}=\sqrt{4a^2b^45a}\)
\(\sqrt{20a^3b^4}\)
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
a) \(4\sqrt{3\:}\) + \(\sqrt{27}\) - \(\sqrt{45}\) + \(\sqrt{5}\)
b) \(\sqrt{28a^4b^{2\:}}\) với b ≥ 0
c) \(\sqrt{72a^2b^4}\) với a < 0
a) = \(4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{3}\cdot\left(4+3\right)-\sqrt{5}\cdot\left(3-1\right)=7\sqrt{3}-2\sqrt{5}\)
b) = \(2a^2b\sqrt{7b}\)
c) = \(6ab^2\sqrt{2}\)
a. \(4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=\left(4+3\right)\sqrt{3}-\left(3-1\right)\sqrt{5}=7\sqrt{3}-2\sqrt{5}\)b. \(\sqrt{28a^4b^2}=2a^2b\sqrt{7}\)( vì b>=0)
c.\(\sqrt{72a^2b^4}=-6ab^2\sqrt{2}\)( vì a<o)
a2+a+1=0. Tính giá trị biểu thức: P=a1981
Đề bài thiếu.Và đây là một bài toán khá hay trong Casio.Mk sửa đề:
Cho \(a^2+a+1=0\).Tính \(P=a^{1981}+\dfrac{1}{a^{1981}}\).
Bài làm:
\(a^2+a+1=0\Rightarrow a^2+a=-1.\).
\(a^2+a+1=0\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=0\Rightarrow a^3-1=0\Rightarrow a^3=1\).
\(P=a^{1981}+\dfrac{1}{a^{1981}}=\left(a^3\right)^{660}.a+\dfrac{1}{\left(a^3\right)^{660}.a}\)
\(P=a+\dfrac{1}{a}=a+\dfrac{a^3}{a}=a^2+a=-1\)
Vậy P=-1.
Cách 1: Ta có: \(a^2+a+1\) = 0
=> \(\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\) = \(a^3-1\)
<=> \(0=a^3-1\) => a3 = 1
Thay a3 = 1 vào P ta được:
P = \(a^{1981}+\dfrac{1}{a^{1981}}\) = \(\left(a^3\right)^{660}.a+\dfrac{1}{\left(a^3\right)^{660}.a}=a+\dfrac{1}{a}\)
= \(\dfrac{a^2+1}{a}=\dfrac{-a}{a}\) ( Do a2 + a+ 1 = 0) = \(-1\)
P/s: Bài này khá nhiều cách nhưng đều khá tương tự nhau!
giúp mình bài toán này với : tìm GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{x^2+x+1}{x+\sqrt{x}+1},x>0,x\ne1\)
Đặt \(\sqrt{x}=a\left(a>0;a\ne1\right)\), ta có:
\(A=\dfrac{a^4+a^2+1}{a^2+a+1}=\dfrac{a^4-a+a^2+a+1}{a^2+a+1}\)
\(=\dfrac{a\left(a^3-1\right)}{a^2+a+1}+\dfrac{a^2+a+1}{a^2+a+1}\)
\(=\dfrac{a\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{a^2+a+1}+1\)
\(=a\left(a-1\right)+1=a^2-a+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{4}\)
Tính: Q= \(\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\)
\(Q=\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\)
\(=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+1\right)\)
\(=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-1\)
\(=2\sqrt{2}-1\)
choa,b,c >0.CMR:\(\dfrac{11a^3-b^3}{4a^2+ab}+\dfrac{11b^3-c^3}{4b^2+bc}+\dfrac{11c^3-a^3}{4c^2+ac}\)
Đã thấy. Sửa đề: \(\sum\dfrac{11a^3-b^3}{4a^2+ab}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\sum\dfrac{11a^3-b^3}{4a^2+ab}=\sum\dfrac{12a^3-\left(a^3+b^3\right)}{4a^2+ab}=\sum\dfrac{12a^3-\left(a+b\right)\left(\left(a-b\right)^2+ab\right)}{4a^2+ab}\)
\(\le\sum\dfrac{12a^3-ab\left(a+b\right)}{4a^2+ab}=\sum\dfrac{a\left(3a-b\right)\left(4a+b\right)}{a\left(4a+b\right)}\)
\(=\sum\left(3a-b\right)=2\left(a+b+c\right)\)
Đề bài: Cho \(a,b,c>0\). CMR \( \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} + \frac{11c^3-b^3}{bc+4c^2} + \frac{11a^3-c^3}{ac+4a^2} \leq 2(a+b+c)\)
Bài giải
Ta chứng minh bổ đề \(\dfrac{11b^3-a^3}{4b^2+ab}\le3b-a\)
Thật vậy \(11b^3-a^3\le\left(ab+4b^2\right)\left(3b-a\right)\Leftrightarrow11b^3-a^3\le-a^2b-ab^2+12b^3\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (đúng)
Tương tự cho2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{11c^3-b^3}{4c^2+bc}\le3c-b;\dfrac{11a^3-c^3}{4a^2+ac}\le3a-c\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\left(3b-a\right)+\left(3c-b\right)+\left(3a-c\right)=2\left(a+b+c\right)=VP\)
1)với x,y,z là các số nguyên thoả mãn x+y+z+xy+yz+xz=6.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\)
trước hết ta chứng minh BĐT \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)bình phương vế trái ta được:
\(a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{b^2+y^2}.\sqrt{c^2+z^2}+\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{c^2+z^2}\right)\)
áp dụng BĐt bunyakovsky:
\(\sqrt{\left(a^2+x^2\right)\left(b^2+y^2\right)}\ge\sqrt{\left(ab+xy\right)^2}=ab+xy\)
tương tự với các bộ còn lại ta thu được :
\(VT^2\ge a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(ab+bc+ca+xy+yz+xz\right)=VF^2\)
do đó BĐT trên đúng
Áp dụng vào bài toán:
\(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)(*)
giờ tìm MIn của\(x^2+y^2+z^2\)
ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)
Áp dụng BĐT cauchy:\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)
cộng theo vế (1) và (2):
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)=12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
kết hợp với (*),ta có:
\(VT\ge\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1