Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp.
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này.
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác phẳng khép kín ta được thiết diện.
Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận.

a. Qua M kẻ đường thẳng song song SB cắt AB tại E

Qua M kẻ đường thẳng song song SD cắt AD tại H

\(\Rightarrow\Delta MEH\) là thiết diện của mp qua M và song song (SBD)

Qua N kẻ đường thẳng song song SB cắt BC tại F

Qua N kẻ đường thẳng song song SD cắt CD tại G

\(\Rightarrow NFG\) là thiết diện của mp qua N và song song (SBD)

b. Gọi O là giao điểm AC và BD

Do M là trung điểm SA, \(ME||SB\Rightarrow ME\) là đường trung bình tam giác SAB

\(\Rightarrow\) E là trung điểm AB

Hoàn toàn tương tự, ta có F là trung điểm BC, G là trung điểm CD, H là trung điểm AD

\(\Rightarrow EH\) là đường trung bình tam giác ABD, FG là đtb tam giác BCD

\(\Rightarrow I\) là trung điểm AO, J là trung điểm CO

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OI=\dfrac{1}{2}OA\\OJ=\dfrac{1}{2}OC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow OI+OJ=\dfrac{1}{2}\left(OA+OC\right)\Rightarrow IJ=\dfrac{1}{2}AC\)

:)??

Kẻ \(HE\perp AD\) , do tam giác ABD đều \(\Rightarrow HE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(AE=\dfrac{1}{4}AD\)

\(\Rightarrow AE=BM\Rightarrow\) tứ giác AEBM là hình bình hành \(\Rightarrow\) H đồng thời là trung điểm ME

Kẻ \(HK\perp SE\Rightarrow HK\perp\left(SAD\right)\)

a. Ta có: \(SH=HE\Rightarrow\) tam giác SHE vuông cân tại H

\(\Rightarrow\) K đồng thời là trung điểm SE

\(\Rightarrow\) KH là đường trung bình tam giác SME \(\Rightarrow SM||HK\)

\(\Rightarrow SM\perp\left(SAD\right)\)

b. Từ C kẻ \(CX\perp\left(SAD\right)\Rightarrow\widehat{CSX}\) là góc giữa SC và (SAD) đồng thời \(CX=d\left(C;\left(SAD\right)\right)\)

\(\Rightarrow sin\alpha=sin\widehat{CSX}=\dfrac{CX}{SC}\)

Từ M kẻ \(MI\perp SE\Rightarrow MI||HK\Rightarrow MI\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow MI=d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Mà \(CM||AD\Rightarrow CM||\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

\(\Rightarrow CX=MI\)

HK là đường trung bình tam giác MIE \(\Rightarrow MI=2HK\)

\(MI=2HK=\dfrac{2SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{SH.a\sqrt{3}}{\sqrt{SH^2+\dfrac{3a^2}{4}}}\)

\(SC=\sqrt{SH^2+CH^2}=\sqrt{SH^2+MH^2+CM^2}=\sqrt{SH^2+HE^2+CM^2}\)

\(=\sqrt{SH^2+7a^2}\)

\(\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{SH.a\sqrt{3}}{\sqrt{SH^2+7a^2}.\sqrt{SH^2+\dfrac{3a^2}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{SH^2+\dfrac{21a^4}{4SH^2}+\dfrac{31}{4}a^2}}\le\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2\sqrt{\dfrac{21a^4}{4}}+\dfrac{31}{4}a^2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(SH^2=\dfrac{21a^4}{4SH^2}\Rightarrow SH=a\sqrt[4]{\dfrac{21}{4}}\)

Em kiểm tra lại tính toán