Bài 4: Hai mặt phẳng song song

I. ĐỊNH NGHĨA

Hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\), \(\left(\beta\right)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Khi đó ta kí hiệu: \(\left(\alpha\right)\)//\(\left(\beta\right)\) hay \(\left(\beta\right)\)//\(\left(\alpha\right)\).

II. TÍNH CHẤT

- Định lí 1:

Nếu mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,b\) và \(a,b\) cùng song song với mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) thì \(\left(\alpha\right)\) song song với \(\left(\beta\right)\).

Chứng minh:

Gọi \(M\) là giao điểm của \(a\) và \(b\).

Vì \(\left(\alpha\right)\) chứa \(a\) mà \(a\) song song với \(\left(\beta\right)\) nên \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) là hai mặt phẳng phân biệt. Ta cần chứng minh \(\left(\alpha\right)\) song song với \(\left(\beta\right)\).

Giả sử \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) không song song và cắt nhau theo giao tuyến \(c\).

Ta có: \(a\)//\(\left(\beta\right)\), \(\left(\alpha\right)\supset a\), \(\left(\alpha\right)\cap\left(\beta\right)=c\) suy ra \(c\) // \(a\).

Lại có \(b\)//\(\left(\beta\right)\), \(\left(\alpha\right)\supset b\), \(\left(\alpha\right)\cap\left(\beta\right)=c\) suy ra \(c\) // \(b\).

Như vậy từ \(M\) ta kẻ được hai đường thẳng \(a,b\) cùng song song với \(c\), điều này vô lý.

Vậy ​​\(\left(\alpha\right)\) phải song song với \(\left(\beta\right)\).

Ví dụ 1: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G_1,G_2,G_3\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC,ACD,ABD\). Chứng minh mặt phẳng \(\left(G_1G_2G_3\right)\) song song với mặt phẳng \(\left(BCD\right)\).

Giải:

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD,DB\). Ta có:

\(M\in AG_1\) và \(\dfrac{AG_1}{AM}=\dfrac{2}{3}\) ; \(N\in AG_2\) và \(\dfrac{AG_2}{AN}=\dfrac{2}{3}\) ; \(P\in AG_3\) và \(\dfrac{AG_3}{AP}=\dfrac{2}{3}\)

Do đó \(\dfrac{AG_1}{AM}=\dfrac{AG_2}{AN}\) suy ra \(G_1G_2\)//\(MN\)

Vì \(MN\subset\left(BCD\right)\) nên \(G_1G_2\)//\(\left(BCD\right)\)

Tương tự \(\dfrac{AG_1}{AM}=\dfrac{AG_3}{AP}\) suy ra \(G_1G_3\)//\(MP\). Vì \(MP\subset\left(BCD\right)\) nên \(G_1G_3\)//\(\left(BCD\right)\)

Vậy \(\left(G_1G_2G_3\right)\) song song với \(\left(BCD\right)\).

- Định lí 2: 

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Từ định lí trên ta suy ra các hệ quả sau:

- Hệ quả 1:

Nếu đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) thì qua \(d\) có duy nhất một mặt phẳng song song với \(\left(\alpha\right)\).

- Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

- Hệ quả 3:

Cho điểm \(A\) không nằm trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\). Mọi đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(\left(\alpha\right)\) đều nằm trong mặt phẳng đi qua \(A\) và song song với \(\left(\alpha\right)\).

Ví dụ 2: Cho tứ diện \(SABC\) có \(SA=SB=SC\). Gọi \(Sx,Sy,Sz\) lần lượt là phân giác ngoài của các góc \(S\) trong ba tam giác \(SBC,SCA,SAB\). Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng \(\left(Sx,Sy\right)\) song song với mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) ;

b) \(Sx,Sy,Sz\) cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giải:

 a) Trong mp\(\left(SBC\right)\) , vì \(Sx\) là phân giác ngoài của góc \(S\) trong tam giác cân \(SBC\) 

nên \(Sx\)//\(BC\). Từ đó suy ra \(Sx\)//\(\left(ABC\right)\) (1)

Tương tự ta cũng suy ra \(Sy\)//\(\left(ABC\right)\) (2) và \(Sz\)//\(\left(ABC\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(Sx,Sy\right)\)//\(\left(ABC\right)\)

b) Theo hệ quả 3, định lí 2, ta có \(Sx,Sy,Sz\) là các đường thẳng cùng đi qua điểm \(S\) và cùng song song với \(\left(ABC\right)\) nên \(Sx,Sy,Sz\) cùng nằm trên một mặt phẳng đi qua \(S\) và song song với \(\left(ABC\right)\).

- Định lí 3:

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Hệ quả:

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

III. ĐỊNH LÝ TA-LÉT 

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Nếu \(d,d'\) là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song \(\left(\alpha\right)\), \(\left(\beta\right)\), \(\left(\gamma\right)\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) và \(A',B',C'\) thì \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CA}{C'A'}\).

IV. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Nhận xét:

+) Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

+) Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

+) Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy:

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

V. HÌNH CHÓP CỤT

Cho hình chóp \(S.A_1A_2...A_n\), một mặt phẳng \(\left(P\right)\) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh \(SA_1,SA_2,...SA_n\) lần lượt tại \(A'_1,A'_2,...,A'_n\). HÌnh tạo bởi thiết diện \(A'_1A'_2...A'_n\) và đáy \(A_1A_2...A_n\) của hình chóp cùng với các tứ giác \(A'_1A'_2A_2A_1\), \(A'_2A'_3A_3A_2\), ..., \(A'_nA'_1A_1A_n\) được gọi là hình chóp cụt.

 Tuỳ theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,... ta có hình chóp  cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,...

Tính chất:

1) Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

2) Các mặt bên là các hình thang.

3) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.