Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

a: Xét ΔEHA có HG là phân giác

nên EG/GA=EH/HA=EH/HB(1)

Xét ΔEHB có HO là phân giác

nên EO/OB=EH/HB(2)

Từ (1) và (2) suy ra EG/GA=EO/OB

hay GO//AB

b: Xét ΔGHA có GM//HA

nên GM/HA=EG=EA(3)

Xét ΔGBH có MO//HB

nên MO/HB=EO/EB(4)

Xét ΔEAB có GO//AB

nên EG/EA=EO/EB(5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra GM/HA=MO/HB

hay GM=MO

=>M là trung điểm của OG

Vì AD là phân giác nên 

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD}{AB}\)

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau 

\(\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow DC=4cm;DB=2cm\)

-Qua D kẻ đường thẳng song song BI cắt AC tại F.

-Xét △ABC: AD là tia p/g của \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\) (định lí đường phân giác trong tam giác)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{10}{35}=\dfrac{2}{7}\)

-Có: \(AE=\dfrac{3}{4}AD\) (gt) ; \(AE+ED=AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}AD+ED=AD\)

\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{4}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{\dfrac{3}{4}AD}{\dfrac{1}{4}AD}=3\)

-Xét △AIF: EI//DF.

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{IF}=\dfrac{AE}{ED}=3\) (định lí Ta-let) (1) \(\Rightarrow IF=\dfrac{1}{3}AI\)

-Xét △IBC: DF//BI.

\(\Rightarrow\dfrac{IF}{CF}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{2}{7}\) (định lí Ta-let) (2)

-Từ (1), (2) suy ra:

\(\dfrac{AI}{IF}.\dfrac{IF}{CF}=3.\dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{CF}=\dfrac{6}{7}\)

\(\Rightarrow CF=\dfrac{7}{6}AI\)

*\(AI+IF+CF=AC\)

\(\Rightarrow AI+\dfrac{7}{6}AI+\dfrac{1}{3}AI=35\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{2}AI=35\)

\(\Rightarrow AI=14\left(cm\right)\)

a, Vì AD là pg nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\Rightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD}{AB}\)

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau 

\(\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{11}{22}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow DC=6cm;BD=5cm\)

b, \(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}.AH.BD=\dfrac{1}{2}.8.5=20cm^2\)

C

1: Xét ΔADC có OM//DC

nên \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{AM}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên \(\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BN}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD

nên \(\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BN}{NC}\)

=>\(\dfrac{MD}{AM}=\dfrac{CN}{NB}\)

=>\(\dfrac{MD+AM}{AM}=\dfrac{CN+NB}{NB}\)

=>\(\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{CB}{BN}\)

=>\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{NB}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OM}{DC}=\dfrac{ON}{DC}\)

=>OM=ON