Bài 3: Hình thang cân

Xét tam giác ABC cân tại A ta có:

BM=CN (do trong tam giác cân hai đường trung tuyến xuất phát từ hai cạnh đáy bằng nhau)

\(\Rightarrow\) BNMC là hình thang cân (do hình có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân)

Vậy BNMC là hình thang cân(đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Các bạn Đức Minh, Sky Sơn Tùng, Tokuda Satoru.

AB=CD ?

SAo cứ phải xét hai tam giác ?

Ra rùi !

Xét tam giác ABD = tam giác CEB (c-g-c)

a).tam giác ADE có: \(\left\{{}\begin{matrix}DM\: \text{là đường trung tuyến của }\Delta ADE\\AN\: \text{là đường trung tuyến của }\Delta ADE\end{matrix}\right.\) nên I là trọng tâm của tam giác ADE

\(\Rightarrow\)EI cũng là đường trung tuyến của tam giác ADE

\(\Rightarrow\)AF=FD

b). ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp DC\\BO\perp DC\\AB\text{//}DC\end{matrix}\right.\)nên tứ giác ABOH là hình chữ nhật.\(\Rightarrow AB=HO\)

hai tam giác vuông ADH và COB có: \(\left\{{}\begin{matrix}DA=BC\\\widehat{ADH}=\widehat{BCO}\end{matrix}\right.\) nên chúng bằng nhau (ch-gn)

\(\Rightarrow DH=OC\)

ta có: \(FE=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{AB+HO+DH+OC}{2}=\dfrac{2HO+2OC}{2}=HO+OC=HC\)

đồng thời \(\dfrac{IE}{FE}=\dfrac{2}{3}\)(I là trong tâm tam giác ADE)

nên \(\dfrac{EI}{HC}=\dfrac{2}{3}\) hay \(EI=\dfrac{2}{3}HC\)

giả sử MA là đoạn thẳng lớn nhất

xét tgiac AMB có MA<MB+AB (1)

xét tgiac AMC có MA< MC +AC (2)

xét tgiac MBC có BC< MB + MC (3)

cộng 2 vế của (1) và (2) ta có : 2MA < MB+MC+AB+AC

<=> MA <(MB+MC+AB+AC)/2

(mà tgiac ABC đều =>AB+AC=2BC)

<=>MA<(MB+MC+2BC)/2

<=>MA<(MB+MC)/2+BC(4)

từ (3) => (MB+MC)/2+BC <MB+MC(5)

từ (4) và (5) => MA<MB+MC (đpcm)

giả sử MA là đoạn thẳng lớn nhất

xét tgiac AMB có MA<MB+AB (1)

xét tgiac AMC có MA< MC +AC (2)

xét tgiac MBC có BC< MB + MC (3)

cộng 2 vế của (1) và (2) ta có : 2MA < MB+MC+AB+AC

<=> MA <(MB+MC+AB+AC)/2

(mà tgiac ABC đều =>AB+AC=2BC)

<=>MA<(MB+MC+2BC)/2

<=>MA<(MB+MC)/2+BC(4)

từ (3) => (MB+MC)/2+BC <MB+MC(5)

từ (4) và (5) => MA<MB+MC (đpcm)

Hình vẽ:

Giải:

Vì E là trung điểm của BC => EF là đường trung tuyến của BC (1)

Lại có: EF // AD => \(\widehat{D}=\widehat{EFC}\) (so le trong)

mà \(\widehat{D}=\widehat{C}\) (t/c hình thang cân)

=> \(\widehat{EFC}=\widehat{C}\)

=> \(\Delta FEC\) cân tại E => EF = EC

lại có: \(EC=\dfrac{1}{2}BC\) (E là trung điểm)

=> \(EF=\dfrac{1}{2}BC\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta BCF\) vuông tại F (đl đảo trong 1 tam giác vuông đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền = nửa cạnh huyền)

=> BF _l_ CD (đpcm)

Ta có:

\(AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2}\)

\(\Rightarrow BN=CM\) (do N và M lần lượt là trung điểm của AB và AC)

Xét tam giác BCN và tam giác CBM ta có:

\(BN=CM\left(cmt\right)\);\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (tam giác ABC cân); BC:chung

Do đó tam giác BCN=tam giác CBM(c.g.c)

=> CN=BM(cặp cạnh tương ứng)

=> Tứ giác BCMN là hình thang cân(do hai đường chéo bằng nhau)

Chúc bạn học tốt!!!