Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

4.

Trong mp (ABD), nối MN kéo dài cắt BD tại E

\(\Rightarrow E=BD\cap\left(MNP\right)\)

Trong mp (BCD), nối EP kéo dài cắt CD tại F

\(\Rightarrow F=CD\cap\left(MNP\right)\)

5.

Qua M kẻ đường thẳng song song AB cắt SC và SD lần lượt tại E và F

\(\Rightarrow E;F\in\left(ABM\right)\)

\(\Rightarrow E=SC\cap\left(ABM\right)\)

Trong mp (SAC), nối AE cắt SO tại G

\(\Rightarrow G=SO\cap\left(ABM\right)\)

a.

Trong mp (SBD), nối MN cắt BD kéo dài tại E

\(\left\{{}\begin{matrix}E\in MN\\E\in BD\in\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E=MN\cap\left(ABCD\right)\)

Gọi F là giao điểm AC và BD\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SF\in\left(SAC\right)\\SF\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\)

Trong mp (SBD), gọi G là giao điểm SF và MN

\(\left\{{}\begin{matrix}G\in MN\\G\in SF\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G=MN\cap\left(SAC\right)\)

b.

Trong mp (SAC), nối AG kéo dài cắt SC tại H

\(\left\{{}\begin{matrix}H\in SC\\H\in AG\in\left(AMN\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H=SC\cap\left(AMN\right)\)

Hình vẽ bài 4

5.

a.

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow CH\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCH}=\left(SC;\left(ABCD\right)\right)\)

\(BH=\dfrac{1}{2}AB=a\)

\(SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=a\sqrt{2}\)

\(CH=\sqrt{BH^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCH}=\dfrac{CH}{SH}=1\Rightarrow\widehat{SCH}=45^0\)

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AD\\AD\perp AB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của SD lên (SAB)

\(\Rightarrow\widehat{DSA}=\left(SD;\left(SAB\right)\right)\)

\(SH\) là đường cao đồng thời là trung tuyến trong tam giác SAB \(\Rightarrow SA=SB=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{DSA}=\dfrac{AD}{SA}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{DSA}=30^0\)

4.

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=2a\)

a.

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\\AB\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAD)

\(\Rightarrow\widehat{BSA}=\left(SB;\left(SAD\right)\right)\)

\(tan\widehat{BSA}=\dfrac{SA}{AB}=1\Rightarrow\widehat{BSA}=45^0\)

b.

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow ADCE\) là hình vuông 

\(\Rightarrow CE\perp AB\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CE\)

\(\Rightarrow CE\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\) SE là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB)

\(\Rightarrow\widehat{CSE}=\left(SC;\left(SAB\right)\right)\)

\(CE=AE=a\) ; \(SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{CSE}=\dfrac{CE}{SE}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{CSE}=30^0\)

1.

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=\left(SC;\left(ABC\right)\right)\)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=2\Rightarrow\widehat{SCA}\approx63^026'\)

2.

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=\left(SC;\left(ABCD\right)\right)\)

\(AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{5}\)

\(SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\sqrt{\dfrac{3}{5}}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx37^046'\)

b. 

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAB

\(\Rightarrow MN||SA\Rightarrow MN\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow DN\) là hình chiếu vuông góc của DM lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{MDN}=\left(DM;\left(ABCD\right)\right)\)

\(MN=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\); \(DN=\sqrt{AD^2+AN^2}=\sqrt{AD^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{MDN}=\dfrac{MN}{DN}=\dfrac{\sqrt{51}}{17}\Rightarrow\widehat{MDN}\approx22^047'\)

3.

a.

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow DH\) là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDH}=\left(SD;\left(ABCD\right)\right)\)

\(AH=DH=\dfrac{AD}{2}=a\)

\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=2a\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SDH}=\dfrac{SH}{DH}=2\Rightarrow\widehat{SDH}\approx63^026'\)

b.

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) BH là hcvg của SB lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SBH}=\left(SB;\left(ABCD\right)\right)\)

\(BH=\sqrt{AB^2+AH^2}=a\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SBH}=\dfrac{SH}{BH}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow\widehat{SBH}\approx41^048'\)

c.

Gọi E là trung điểm DH \(\Rightarrow IE\) là đường trung bình tam giác SDH

\(\Rightarrow IE||SH\Rightarrow IE\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ICE}=\left(CI;\left(ABCD\right)\right)\)

\(IE=\dfrac{1}{2}SH=a\) ; \(CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{CD^2+\left(\dfrac{DH}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{ICE}=\dfrac{IE}{CE}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}\Rightarrow\widehat{ICE}\approx25^052'\)

Hình vẽ bài 2:

a: (SB;(ABCD))=(BS;BA)=góc SBA

AC=căn a^2+3a^2=2a

SA=căn SC^2-AC^2=a*căn 3

tan SBA=SA/AB=căn 3

=>góc SBA=60 độ

b: (SC;(SAD))=(SC;SD)=góc SCD

SD=căn SA^2+AD^2=2a*căn 3

cos SCD=(CS^2+CD^2-SD^2)/(2*CS*CD)=-2/căn 7

=>góc SCD=139 độ

a: CD vuông góc AD

CD vuông góc SA

=>CD vuông góc (SAD)

b:

BA vuông góc SA; BA vuông góc AD

=>BA vuông góc (SAD)

(SB;(SAD))=(SB;SA)=góc SBA

tan SBA=SA/AB=căn 3/3

=>góc SBA=30 độ