Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuong tại E có

BD chung

góc ABD=góc EBD

Do đó: ΔBAD=ΔBED

Suy ra: BA=BE

hay ΔBAE cân tại B

b: Ta có: góc CAE+góc BAE=90 độ

góc HAE+góc BEA=90 độ

mà góc BAE=góc BEA

nên góc CAE=góc HAE
hay AE là phân giác của góc HAC

c: Ta có: AD=DE

mà DE<DC

nên AD<DC

Xét ΔCHA có DE//AH

nên CE/CD=HE/AD
mà CD>AD

nên CE>HE

a: Xét ΔABE có

AH là đường cao

AH là đường trung tuyến

Do đó: ΔABE cântại A
mà góc ABE=60 độ

nên ΔABE đều

b: Xét ΔCAD vuông tại Dvà ΔACH vuông tại H có

CA chung

góc CAD=góc ACH

Do đó: ΔCAD=ΔACH

Suy ra: AD=CH

=>AE+DE=CE+EH

mà AE=CE

nên EH=ED

hay ΔEHD cân tại E

d: Xét ΔCKA có

CH là đường cao
AD làđường cao

CH cắt AD tại E

DO đó: E là trực tâm

=>KE vuông góc với AC

a: Ta có: AB<AC

nên \(\widehat{ABD}>\widehat{ACD}\)

=>\(90^0-\widehat{ABD}< 90^0-\widehat{ACD}\)

hay góc BAD<góc CAD

Xét ΔABC có AB<AC
mà DB là hình chiếu của AB trên BC

và DC là hình chiếu của AC trên BC

nên DB<DC

b: Xét ΔAKC có

CD là đường cao

KH là đường cao

CD cắt KH tại E

DO đó: E là trực tam

=>AE\(\perp\)CK

\(\dfrac{y+z-x}{x}=\dfrac{z+x-y}{y}=\dfrac{x+y-z}{z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{y+z-x}{x}+2=\dfrac{z+x-y}{y}+2=\dfrac{x+y-z}{z}+2\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z}{x}=\dfrac{x+y+z}{y}=\dfrac{x+y+z}{z}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y+z}{x}=\dfrac{x+y+z}{y}\\\dfrac{x+y+z}{y}=\dfrac{x+y+z}{z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x+y+z\right)=y\left(x+y+z\right)\\y\left(x+y+z\right)=z\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)=0\\\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=z\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\)

\(\circledast\) Với \(x=y=z\) thì \(A=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

\(\circledast\) Với \(x+y+z=0\) thì\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\x+z=-y\\y+z=-x\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(A=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)=\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}=\dfrac{-xyz}{xyz}=-1\)

Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAKI vuông tại K có

AI chung

\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

Do đó: ΔAHI=ΔAKI

Suy ra: IH=IK