Bài 2: Dãy số

\(\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)...\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}...\dfrac{n-1}{n}\)

\(=\dfrac{1}{n}\)

\(u_n=1+2\left(n-1\right)=1+2n-2=2n-1\left(\text{*}\right)\)

Chứng minh

Với \(n=1\)

\(VT=1;VP=2\cdot1-1=1=VT\)

Vậy \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=1\)

Giả sử \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k\ge1\) tức là

\(u_k=u_{k-1}+2=2k-1\)

Ta chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp ta có

\(u_{k+1}=u_k+2=2k-1+2=2k+2-1=2\left(k+1\right)-1\)

Vậy ...

Lời giải:

a) Từ công thức truy hồi \(u_{n+1}=u_n+n^3\) suy ra:

\(u_1=1\) (theo giả thiết)

\(u_2=u_1+1^3=2\)

\(u_3=u_2+2^3=2+2^3=10\)

\(u_4=u_3+3^3=37\)

\(u_5=u_4+4^3=101\)

b) Ta sẽ chỉ ra công thức tổng quát của dãy là:

\(u_n=1+1^3+2^3+...+(n-1)^3\)

Thật vậy:

Với \(n=2\Rightarrow u_2=1+1^3=2\) (đúng)

Với \(n=3\Rightarrow u_3=1+1^3+2^3=10\) (đúng)

....

Giả sử công thức đúng với \(n=k\), tức là:

\(u_k=1+1^3+2^3+...+(k-1)^3\)

Ta chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:

\(u_{k+1}=u_k+k^3=1+1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3\)

Do đó công thức đúng với $n=k+1$

Do đó ta có \(u_n=1+1^3+2^3+...+(n-1)^3=1+\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2\)

mấy thánh toán đâu jup cai nao

jup

cttp Un+1=((n+1)n)/2 +3 (với n thuộc N)
a/ 2011 ko thuoc day vi khi Un+1=2011 thi n khong thoa DK tren
b/2021058

c/ 1355460253 (tinh bang ham tong tren may tinh)

A=B/2:B=A (nhap tren may)
dc 3/2 3/4 3/8
=> cttq Un= 3/(2^(n-1))

Ta thấy: U₁=3; U_n+1=\(\dfrac{U_n}{2}\Rightarrow U_n=\dfrac{U_{n-1}}{2}\)

\(\Rightarrow U_n=U_1\cdot q^{n-1}=3\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{3}{2^{n-1}}\)(công thức cấp số nhân).

Chúc bạn học tốt!