Question

Cho (un) u1=1
un+1=un+n^3
A viết 5 số hạng đầu của dãy số
b: viết công thứtổng quátc (un) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Answer 1

Lời giải:

a) Từ công thức truy hồi \(u_{n+1}=u_n+n^3\) suy ra:

\(u_1=1\) (theo giả thiết)

\(u_2=u_1+1^3=2\)

\(u_3=u_2+2^3=2+2^3=10\)

\(u_4=u_3+3^3=37\)

\(u_5=u_4+4^3=101\)

b) Ta sẽ chỉ ra công thức tổng quát của dãy là:

\(u_n=1+1^3+2^3+...+(n-1)^3\)

Thật vậy:

Với \(n=2\Rightarrow u_2=1+1^3=2\) (đúng)

Với \(n=3\Rightarrow u_3=1+1^3+2^3=10\) (đúng)

....

Giả sử công thức đúng với \(n=k\), tức là:

\(u_k=1+1^3+2^3+...+(k-1)^3\)

Ta chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:

\(u_{k+1}=u_k+k^3=1+1^3+2^3+...+(k-1)^3+k^3\)

Do đó công thức đúng với $n=k+1$

Do đó ta có \(u_n=1+1^3+2^3+...+(n-1)^3=1+\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2\)