Question

Dãy số \(\left(u_n\right)\) cho bởi :

                 \(u_1=3;u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},n\ge1\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\) và  chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

Answer 1

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ε N^{* (1)}

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

u_k+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.