Bài 1: Số phức

ta có : \(\left|z^2+4\right|=2\left|z\right|\Leftrightarrow\left|\left(a+bi\right)^2+4\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a^2-b^2+4+2abi\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2}=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+16-2a^2b^2-8b^2+8a^2+4a^2b^2=4a^2+4b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-4a^2-4b^2+4=8b^2-8a^2-12=P\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2\right)^2-4\left(a^2+b^2\right)+4\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2-2\right)^2=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)

vậy \(P=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực.

Ta có: \(|z+2-i|=|(a+2)+i(b-1)|=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow (a+2)^2+(b-1)^2=8(*)\)

Và:

\((z-1)^2=z^2+1-2z=(a+bi)^2+1-2(a+bi)\)

\(=a^2-b^2+2abi+1-2(a+bi)\)

\(=(a^2-b^2+1-2a)+i(2ab-2b)\)

Để \((z-1)^2\) thuần ảo thì \(a^2-b^2+1-2a=0\)

\(\Leftrightarrow (a-1)^2=b^2\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a-1=b\\ a-1=-b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=b+1\\ a=1-b\end{matrix}\right.\)

Nếu \(a=b+1\), thay vào (*):

\((b+3)^2+(b-1)^2=8\Leftrightarrow b^2+2b+1=0\Leftrightarrow b=-1\)

\(\Rightarrow a=0\Rightarrow z=-1\)

Nếu \(a=1-b\Rightarrow (3-b)^2+(b-1)^2=8\)

\(\Leftrightarrow b^2-4b+1=0\Rightarrow b=2\pm \sqrt{3}\)

\(\Rightarrow a=-1\mp \sqrt{3}\), tương ứng với 2 số $z$

Vậy có $3$ số thỏa mãn.

Giải:

\(\text{PT}\Leftrightarrow |z^4+4|^2=|z|^2|z+2i|^2\Leftrightarrow (z^4+4)(\overline{z}^4+4)=z\overline{z}(z+2i)(\overline{z}-2i)\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a=z\\ b=\overline{z}\end{matrix}\right.\Rightarrow (a^4+4)(b^4+4)=ab[ab-2ai+2bi+4]=2ab(ab-ai+bi+1)-a^2b^2+2ab\)

Đặt \(ab=t\Rightarrow t=|z|^2\geq 0;t\in \mathbb{Z}\). Dễ thấy \(t\neq 0\)

Phương trình ở trên tương đương, kết hợp BĐT AM-GM:

\((a^4+4)(b^4+4)=2ab|z+i|^2-a^2b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow |z+i|^2=\frac{(a^4+4)(b^4+4)+a^2b^2-2ab}{2ab}\geq \frac{t^4+8t^2+t^2-2t+16}{2t}=\frac{t^3}{2}+\frac{9t}{2}+\frac{8}{t}-1\)

Đạo hàm và lập bảng biến thiên suy ra \(f(t)\geq \frac{1}{6}(\sqrt{2970+182\sqrt{273}}-6)\)

\(|z+i|^2_{\min}= \frac{1}{6}(\sqrt{2970+182\sqrt{273}}-6)\)

câu A

Cau D

Xét riêng: \(\frac{\left|z\right|^4}{z^2}=\left(\frac{\left|z\right|^2}{z}\right)^2=\left(\left|z\right|^2\cdot\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}\right)=\left(\overline{z}\right)^2=w\)

Thay w vào phương trình, ta có:

\(w^2+w+\frac{200}{1-7i}=0\\ \Delta=1-4\cdot\frac{200}{1-7i}=-15-112i\\ \Rightarrow\Delta=\left(7-8i\right)^2\)

Phương trình có 2 nghiệm là:

\(\left[\begin{matrix}w=-4+4i\\w=3-4i\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}z=-4-4i\\z=3+4i\end{matrix}\right.\)

Đặt \(z = a + bi (a,b \in \mathbb{Z})\)

Ta có:

\(z^2+\left|z\right|=0\\ \Leftrightarrow\left(a+bi\right)^2+\left|a+bi\right|=0\\ \Leftrightarrow a^2-b^2+2abi+\sqrt{a^2+b^2}=0+0i\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ab=0\left(1\right)\\a^2-b^2+\sqrt{a^2+b^2}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\\\text{Nếu }a=0\\ \Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left|b\right|-b^2=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=1\\b=-1\end{matrix}\right.\\ \text{Nếu }b=0\\ \Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\left|a\right|+a^2=0\\ \Leftrightarrow a=0\)

Vậy

\(\left(a,b\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\right\}\\ \Rightarrow z\in\left\{0;i;-i\right\}\)

giả sử z= a+ bi( a, b ϵ R)

từ giả thiết có ===> | a+ bi- 4i |+ |a+bi+4i|= 10

↔ |a+i(b-4)| +|a+(b+4)i|=10

↔ \(\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}\) +\(\sqrt{a^2+\left(b+4\right)^2}\) =10

bình phương 2 vế, rút gọn thu được:

2a²+ 2b²+32+ 2\(\sqrt{\left(\left(a^2+\left(b-4\right)^2\right)\right).\left(\left(a^2+\left(b+4\right)^2\right)\right)}\)=100

bình phương tiếp:

gọi z=x+yi ( x, y \(\in\) R)

ta có:\(\sqrt{\left(x^2+\left(y-4\right)^2\right)}+\sqrt{x^2+\left(y+4\right)^2}=10\)

<=> \(\sqrt{\left(x^2+\left(y-4\right)^2\right)}=10-\sqrt{x^2+\left(y+4\right)^2}\)

<=> \(x^2+\left(y-4\right)^2=100-20\sqrt{x^2+\left(y+4\right)^2}+x^2+\left(y+4\right)^2\)

<=> \(5\sqrt{\left(x^2+\left(y+4\right)^2\right)}=25+4y\)

<=> \(\begin{cases}y\ge\frac{-25}{4}\\25\left(x^2+\left(y+4\right)^2\right)=625+200y+16y^2\end{cases}\)

<=> \(\begin{cases}y\ge\frac{-25}{4}\\25x^2+25\left(y^2+8y+16\right)=625+200y+16y^2\end{cases}\)

<=>\(\begin{cases}y\ge\frac{-25}{4}\\9y^2+25x^2=225\end{cases}\)

<=>\(\begin{cases}y\ge\frac{-25}{4}\\\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{9}=1\end{cases}\)

ta thấy phương trình trên là một phương trình elip.

Kết luận: Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn điều kiện trên là một hình elip có phương trình:

\(\frac{y^2}{25}+\frac{x^2}{9}=1\)

đúng thì tick cho mình biết nhé!!!

Lời giải:

Ta có:

\(|z^2+1|=4|z|\Leftrightarrow \frac{|z^2+1|^2}{|z|^2}=16\)

\(\Leftrightarrow 16=\frac{(z^2+1)(\overline{z^2}+1)}{|z|^2}=\frac{|z|^4+z^2+\overline{z^2}+1}{|z|^2}\)

\(\Leftrightarrow 16=\frac{|z|^4+(z+\overline{z})^2-2|z|^2+1}{|z|^2}\geq \frac{|z|^4-2|z|^2+1}{|z|^2}\)

Đặt \(|z|^2=t\Rightarrow 16\geq \frac{t^2-2t+1}{t}\)

\(\Leftrightarrow t^2-18t+1\leq 0\Leftrightarrow 9-4\sqrt{5}\leq t\leq 9+4\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow \sqrt{5}-2\leq |z|\leq \sqrt{5}+2\) hay \(|z|_{\min}=\sqrt{5}-2;|z|_{\max}=\sqrt{5}+2\)

Tổng quát: Nếu \(|z+\frac{1}{z}|=k\Rightarrow |z|_{\max}=\frac{\sqrt{k^2+4}+k}{2};|z|_{\min}=\frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}\)

đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in R;i^2=-1\)

ta có : \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=8x+6x-20\)

đặc \(A=\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2}\)

áp dụng bunhiacopxki ta có :

\(A\le\sqrt{2\left[\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\right]}\)

\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{2\left(2a^2+2b^2-4b+12\right)}=\sqrt{2\left(16a+12b-40-4b+12\right)}\)

\(\Leftrightarrow A\le\sqrt{2\left[16\left(a-4\right)+8\left(b-3\right)\right]+120}\)

áp dụng bunhiacopxki lần nữa ta có :

\(A\le\sqrt{2\left(16^2+8^2\right)\left[\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2\right]+120}\)

\(\Leftrightarrow A\le2\sqrt{830}\) dâu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\\\dfrac{a-4}{16}=\dfrac{b-3}{8}\\\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow P=a+b=10\)

khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow P=a+b=4\)

vậy \(P=10;P=4\)