Bài 3: Phép chia số phức

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức \(z=a+bi\). Ta có:

            \(z+\overline{z}=\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=2a\)

            \(z.\overline{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2-\left(bi\right)^2=a^2+b^2=\left|z\right|^2\)

Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô đun của số phức đó.

Ví dụ: Cho số phức \(z=2-3i\), ta có:

           \(z+\overline{z}=2.2=4\) ;

           \(z.\overline{z}=2^2+\left(-3\right)^2=13\).

2. Phép chia hai số phức

Chia số phức \(c+di\) cho số phức \(a+bi\) khác \(0\) là tìm số phức \(z\) sao cho \(c+di=\left(a+bi\right)z\)

Số phức \(z\) được gọi là thương trong phép chia \(c+di\) cho \(a+bi\) và kí hiệu là

                                           \(z=\dfrac{c+di}{a+bi}\)

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia \(4+2i\) cho \(1+i\).

Giải:

Giả sử \(z=\dfrac{4+2i}{1+i}\). Theo định nghĩa ta có \(\left(1+i\right)z=4+2i\)

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của \(1+i\) ta được:

                \(\left(1-i\right)\left(1+i\right)z=\left(1-i\right)\left(4+2i\right)\)

suy ra      \(2z=6-2i\)

hay          \(z=\dfrac{1}{2}\left(6-2i\right)=3-i\)

Vậy \(\dfrac{4+2i}{1+i}=3-i\).

Tổng quát, giả sử \(z=\dfrac{c+di}{a+bi}\). Theo định nghĩa ta có

                  \(\left(a+bi\right)z=c+di\)

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của \(a+bi\) ta có:

                  \(\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)z=\left(a-bi\right)\left(c+di\right)\)

hay             \(\left(a^2+b^2\right)z=\left(ac+bd\right)+\left(ad-bc\right)i\)

Nhân cả hai vế với số thực \(\dfrac{1}{a^2+b^2}\) ta được:

                 \(z=\dfrac{1}{a^2+b^2}\left[\left(ac+bd\right)+\left(ad-bc\right)i\right]\)

Vậy              \(\dfrac{c+di}{a+bi}=\dfrac{ac+bd}{a^2+b^2}+\dfrac{ad-bc}{a^2+b^2}i\).

Chú ý: Trong thực hành, để tính thương \(\dfrac{c+di}{a+bi}\) ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của \(a+bi\).

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia \(3+2i\) cho \(2+3i\).

Giải:

      \(\dfrac{3+2i}{2+3i}=\dfrac{\left(2-3i\right)\left(3+2i\right)}{\left(2-3i\right)\left(2+3i\right)}=\dfrac{12-5i}{13}=\dfrac{12}{13}-\dfrac{5}{13}i\).

Ví dụ 3: Tìm số phức \(z\) thoả mãn điều kiện

           \(\left(1+3i\right)z-\left(2+5i\right)=\left(2+i\right)z\).

Giải:

Ta có: \(\left(1+3i\right)z-\left(2+5i\right)=\left(2+i\right)z\)

      \(\Leftrightarrow\left(1+3i\right)z-\left(2+i\right)z=2+5i\)

      \(\Leftrightarrow\left(1+3i-2-i\right)z=2+5i\)

      \(\Leftrightarrow\left(-1+2i\right)z=2+5i\)

      \(\Leftrightarrow z=\dfrac{2+5i}{-1+2i}=\dfrac{\left(-1-2i\right)\left(2+5i\right)}{\left(-1-2i\right)\left(-1+2i\right)}=\dfrac{8-9i}{5}\)

Vậy \(z=\dfrac{8}{5}-\dfrac{9}{5}i\).