Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Lời giải:

Ta có: \(4\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 4^{n+1}\equiv 1^{n+1}\equiv 1\pmod 3\)

\(5\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 5^{2n-1}\equiv (-1)^{2n-1}\equiv -1\pmod 3\)

Do đó: \(A=4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod 3\)

\(\Leftrightarrow A\) chia hết cho $3$ (1)

Lại có:

\(5\equiv -2\pmod 7\Rightarrow 5^{2n-1}\equiv (-2)^{2n-1}\equiv -2^{2n-1}\pmod 7\)

\(\Rightarrow A=4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 2^{2n+2}-2^{2n-1}\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 2^{2n-1}(2^3-1)\equiv 7.2^{2n-1}\equiv 0\pmod 7\)

Hay $A$ chia hết cho $7$ (2)

Từ (1), (2) kết hợp với $(3,7)=1$ suy ra \(A\vdots 21\)

Ta có đpcm.

Giao lưu:

\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge\left(1+nx\right)\end{matrix}\right.\)(I)

-khi n=0 ta có 1=1 vẫn đúng => đúng với mọi n là số không âm {sao đề loại n=0 đi nhỉ}

-với x>-1 => 1+x> 0

vói x=0 ta có 1^n>=1 hiển nhiên đúng

{Ta cần c/m với mọi x khác 0 và x>-1}

C/M: Bằng quy nạp

với n=1 ta có: (1+x)>=(1+x) hiển nhiên.

G/s: (I) đúng với n=k tức là (1+x)^k>=(1+kx)

Ta cần c/m (I) đúng với (k+1)

với n=(k+1) ta có \(\left(1+x\right)^{k+1}\ge\left[1+\left(k+1\right)x\right]\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+x\right)^k\ge1+kx+x\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1+kx\right)\ge1+kx+x\)

\(\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x+kx^2\ge1+kx+x\Leftrightarrow kx^2\ge0\)(**)

Mọi phép biến đổi là tương đương (**) đúng => (*) đúng

=> dpcm.

????????

Mk k bt nx

vì cảm biến là yếu tố quyết định hình dạng của bức ảnh

mỗi v mà mn cx ko hiểu ( mik cx ko hiểu luôn)

Đặt \(T=1.4+4.7+...+\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)\).

Ta có: \(9T=1.4.\left[7-\left[-2\right]\right]+4.7.\left(10-1\right)+7.10.\left(13-4\right)+...+\left(3n-2\right).\left(3n+1\right).\left[\left(3n+4\right)-\left(3n-5\right)\right]=1.4.7-\left(-2\right).1.4+4.7.10-1.4.7+7.10.13-4.7.10+...+\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)\left(3n+4\right)-\left(3n-5\right)\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)=\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)\left(3n+4\right)-\left(-2\right).1.4=9n\left(3n^2+3n-2\right)\Rightarrow T=n\left(3n^2+3n-2\right)\).

Giao lưu:

\(\left\{\begin{matrix}x>-1\\n\in N\\\left(1+x\right)^n\ge1+nx\end{matrix}\right.\) (I)

\(x>-1\Rightarrow\left(1+x\right)>1\Rightarrow\left(1+x\right)^n>1voi\forall n\in N\)

với x=0 1^n>=1 luôn đúng ta cần c/m với x khác 0

\(\left\{\begin{matrix}n=1\Rightarrow\left(1+x\right)^1\ge\left(1+x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^2\ge\left(1+2x\right)...\left\{dung\right\}\\n=2\Rightarrow\left(1+x\right)^3\ge\left(1+3x\right)...\left\{dung\right\}\end{matrix}\right.\)

C/m bằng phản chứng:

Giả /sủ từ giá trị (k+1) nào đó ta có điều ngược lại (*)

Nghĩa là: khi n đủ lớn BĐT (I) không đúng nữa. và chỉ đúng đến (n=k)(**)

Như vậy coi (**) đúng và ta chứng minh (*) là sai .

với n=k ta có: \(\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\) (1) theo (*)

vói n=(k+1) ta có theo (**)

\(\left(1+x\right)^{k+1}\le\left[1+\left(k+1\right)x\right]\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1+x\right)^k\le\left[1+kx+x\right]\)(2)

chia hai vế (2) cho [(1+x)>0 {do x>-1}] BĐT không đổi

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(1+x\right)^k\le\frac{\left[\left(1+kx\right)+x\right]}{1+x}\) từ (1)=> \(\frac{1+kx+x}{x+1}\ge\left(1+x\right)^k\ge\left(1+kx\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(1+kx\right)+x}{x+1}\ge\left(1+kx\right)\Leftrightarrow\left(1+kx\right)+x\ge\left(1+kx\right)+x+kx^2\)(3)

\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left[\left(1+kx\right)+x\right]-\left[\left(1+kx\right)+x\right]\ge kx^2\)\(\Leftrightarrow0\ge kx^2\) (***)

{(***) đúng chỉ khi x=0 ta đang xét x khác 0} vậy (***) sai => (*) sai

ĐIều giả sử sai--> không tồn tại giá trị (k+1) --> làm BĐT đổi chiều:

=> đpcm

A = n⁵ - 6n =n⁵-n-5n
= n.(n⁴ - 1) -5n
= n.(n² + 1)(n² - 1) -5n
= n.(n² + 1)(n - 1)(n + 1)-5n
= n.(n² - 4 + 5)(n - 1)(n + 1) -5n
= n[(n-2)(n+2)+5](n - 1)(n + 1) -5n
= [n(n-2)(n+2)+5n](n - 1)(n + 1) -5n
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) -5n
Ta có:

+n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
+5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5

+5n chia hết chon 5
=> n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)-5n chia hết cho 5
=> A chia hết cho 5

Đặt biêu thức =A nha