Bài 1: Phân thức đại số.

Dạ, thưa chị Xuân , em tìm được chị cũng là 1 kì tích trong đời người rồi đó, tạm gác qua chuyện đó, bây h coi em ra tay nè:

+) Tìm MinB:

\(B=\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}-\dfrac{1}{2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{x^4+1-\dfrac{1}{2}x^4-x^2-\dfrac{1}{2}}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}x^4-x^2+\dfrac{1}{2}}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^4-2x^2+1}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(\text{Ta có}:\dfrac{1}{2}\cdot\left(x^2-1\right)^2\ge0\)

\(< =>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\ge0\)

\(< =>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Vậy Min B là \(\dfrac{1}{2}\) <=> x²-1=0 <=> (x-1)(x+1)=0 <=> x=1 hoặc x=-1.

P/s: Em biết rằng chị Xuân sẽ thắc mắc ko hiểu vì sao em biết tại sao phải cộng \(\dfrac{1}{2}\) vô, nhưng em sẽ ko tiết lộ đâu bởi vì đó là bí quyết riêng của em, thứ lỗi.

+) Tìm MaxB:

Ta có: \(x^4+1\ge1\)

\(x^4+2x^2+1\ge1\)

Suy ra: \(\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}\le\dfrac{1}{1}\)

\(< =>\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}\le1\)

Vậy Max B là 1 <=> x⁴=0 <=> x=0.

Phương pháp xe đạp lộn ngược

\(x^4+1\ne0\forall x\)

\(\dfrac{1}{B}=\dfrac{\left(x^4+2x^2+1\right)}{x^4+1}=1+\dfrac{2x^2}{x^4+1}=1+2A\)

\(A\ge0\) đẳng thức khi x=0

\(\Rightarrow\dfrac{1}{B}\ge0\Rightarrow B\le1\)

đẳng thức khi A=0=> x=0

xét khi \(x\ne0\)

\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{x^4+1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\) đẳng thức x=+-1

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{B}\le2\Rightarrow B\ge\dfrac{1}{2}\)

đẳng thức khi A=1/2=> x=+-1

press \(x^2=a\left(a\ge0;a\ne-1\right)\)

\(B=\dfrac{a^2+1}{\left(a+1\right)^2}\Leftrightarrow B\left(a^2+2a+1\right)=a^2+1\)

\(\Leftrightarrow Ba^2+2Ba+B=a^2+1\Leftrightarrow\left(B-1\right)a^2+2Ba+\left(B-1\right)=0\)(1)

Phương trình ẩn a phải có nghiệm, xét

\(\Delta'=B^2-\left(B-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow1.\left(2B-1\right)\ge0\Leftrightarrow B\ge\dfrac{1}{2}\)

\(B=\dfrac{1}{2},Pt\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1\)(tmdk)

Vậy B_Min=0,5 khi x=1(không có Max)

\(M=\dfrac{T}{M}\)

\(T=x^2\left(x^2+1\right)+3x\left(x^2+1\right)-x+1\)

M khác 0 với mọi x=>

\(M=x^2+3x-\dfrac{x-1}{x^2+1}=x^2+3x-A\)

=M và x, thuộc Z=> A thuộc Z=> (x-1) chia hết cho x^2+1

=>Hiển nhiên x={0, 1} là nghiệm

với x khác 0, 1

cần \(\left|x-1\right|\ge x^2+1\)

chia khoảng

với x>1 \(\Rightarrow x^2-x+2\le0\Rightarrow Vô..N_0\)

với x<1 => x^2 +x<=0 => -1<=x<=0

x nguyen => x=-1

Kết luận

x={-1,0,1} là nghiệm

a)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\) {cơ bản nhất, cần thiết nhất}

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge ab\) đẳng thức khi a=b=0

b)Nhân 2 hai vế chuyển hết về VT

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(a^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Hiển nhiên tổng 3 số không âm => không âm

đẳng thức khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a=1\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=1\)

Gọi số thứ nhất là x

số thứ 2 là 75-x

Pt: x+9=2(75-x)\(\Leftrightarrow\)x+9=150-2x

\(\Leftrightarrow\)3x=141

\(\Leftrightarrow\)x=47

gọi tử số là x (x>0) suy ra mẫu là 4x

nếu tăng thêm 2đv thì tử là x+2

nếu tăng thêm 2 đv thì mẫu là 4x+2

vì tăng ...............bằng 1/ 2 ps đã cho suy ra ta có pt :

x+2/4x+2= 1/2<=>2x+4=4x+2<=>-2x=-2<=>x=1

=>mẫu số là 4 => p/s cần tìm là 1/4

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=0\)

Do mẫu số phải lớn hơn 0 nên để \(\dfrac{-2}{x-1}\) nhận giá trị không âm thì \(\dfrac{-2}{x-1}>0\)

\(\Rightarrow x-1< 0\Rightarrow x< 1\)

Vậy x < 1 thì \(\dfrac{-2}{x-1}\) nhận giá trị không âm

Ta có: ĐKXĐ: x \(\ne\) 1

Để \(\dfrac{-2}{x-1}\) không âm <=> \(\dfrac{-2}{x-1}\) \(\ge\) 0

<=> x -1 \(\le\) 0 ( vì -2 <0)

<=> x \(\le\) 1

Đối chiếu với ĐKXĐ => x < 1

Vậy nghiệm của bất phương trình là x <1

Giá trị của \(\dfrac{-2}{x-1}\) k âm

Hay \(\dfrac{-2}{x-1}\ge0\) \(\Rightarrow\) \(x-1< 0\)

\(\Leftrightarrow x< 1\)

Vậy để \(\dfrac{-2}{x-1}\) k âm thì x<1

câu 1:

thực hiện phép chia được thương là 2x²+2x+1

ta có: 2x²+2x+1=2x²+2x+\(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{2}\)

=2(x²+x+\(\dfrac{1}{4}\))+\(\dfrac{1}{2}\)=2(x+\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{1}{2}\)

vì 2(x+\(\dfrac{1}{2}\))²\(\ge\)0 nên 2(x+\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{1}{2}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{2}\)

dấu = xảy ra khi x=\(\dfrac{-1}{2}\)

câu 2:

\(\dfrac{\left(x+2\right)P}{x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)Q}{x^2-4}\Leftrightarrow\left(x^2-4\right)\left(x+2\right)P=\left(x-2\right)\left(x-1\right)Q\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2P=\left(x-1\right)Q\)

\(\Leftrightarrow\)P=x-1

Q=(x+2)²