Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Áp dụng HTL:

\(AH^2=BH.HC\)

\(\Rightarrow HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{12^2}{9}=16\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=BH+HC=16+9=25\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.12.25=150\left(cm^2\right)\)

a:Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

hay AH=3,6(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=15

\(\Leftrightarrow AM=7,5\)

Xét tg ABC có A=90^o

=>\(BC^2=AC^2+AB^2\left(dl.Py.ta.go\right)\)

=> \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

AM là đường trung tuyến

=> đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh Huyền => AM=BC:2=15:2=7,5cm

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:

\(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow15^2=BH\left(BH+HC\right)\)

\(\Rightarrow225=BH\left(BH+16\right)\)

\(\Rightarrow BH^2+16BH-225=0\)

\(\Rightarrow BH=9\)

Áp dụng HTL:

\(AC^2=HC.BC\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{16\left(16+9\right)}=20\)

Bài 19:

a: Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

hay HB=16(cm)

Ta có: BH+CH=BC

nên BC=25(cm)

Xét ΔBAC vuông tại A có

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=20\left(cm\right)\\AC=15\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b:Ta có: \(AB\cdot HE+AC\cdot HF\)

\(=AH\cdot HB+AH\cdot HC\)

\(=AH\cdot BC\)

\(=AB\cdot AC\)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{AH^2}\)

\(\Rightarrow AH^2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{3^2}}=\dfrac{144}{25}\Rightarrow AH=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

Áp đụng đ/lý Pytago trong tam giác ABH vuông tại H và tam giác AHC vuông tại H:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH^2+AH^2\\AC^2=CH^2+AH^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{4^2-2,4^2}=3,2\left(cm\right)\\CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b) Xét tam giác AHC vuông tại H:

\(sinC=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{2,4}{3}=\dfrac{4}{5}\)

c) Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\widehat{B}\approx36^0\)