§1. Mệnh đề

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử \(A=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\in\mathbb{Q}\)

Bình phương 2 vế:

\(\Rightarrow a^2n+b^2(n+1)+2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2\)

\(\Rightarrow 2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2-a^2n-b^2(n+1)\in\mathbb{Q}\)

Mà \(2ab\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\)

Do \(n\in\mathbb{N}^*\Rightarrow n(n+1)\in\mathbb{N}^*\). Suy ra, để \(\sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\) thì nó phải có dạng \(t\) (\(t\in\mathbb{N})\)

Ta có:

\(\sqrt{n(n+1)}=t\)

\(\Rightarrow n(n+1)=t^2\)

\(\Rightarrow 4n(n+1)=(2t)^2\Rightarrow (2n+1)^2=(2t)^2+1\)

\(\Leftrightarrow (2n+1-2t)(2n+1+2t)=1\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1-2t=1\\ 2n+1+2t=1\end{matrix}\right.\rightarrow n=0\) (vô lý do \(n\in\mathbb{N}^*\) )

Vậy giả sử là sai. Do đó \(A\not\in\mathbb{Q}\) hay A vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử cả 2 pt trên đều không có nghiệm.

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta_1=a^2-4b< 0\\ \Delta_2=c^2-4d< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+c^2< 4(b+d)\)

Kết hợp với đk: \(ac\geq 2(b+d)\Rightarrow 2ac> a^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+c^2-2ca< 0\Leftrightarrow (a-c)^2< 0\) (vô lý)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức là ít nhất 1 trong 2 pt trên phải có nghiệm.

a: Điều kiện cần và đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau

b: Điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 5 là số đó có chữ số tận cùng là 5

c: Điều kiện để |a|=|b| là a=b hoặc a=-b

a) A là mệnh đề sai. Mệnh đề phủ định là:"∃n ∈ N, n⁵ - 3 không là bội số của 7".

b) B là mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định là:"∀n ∈ R, x²-7x+15≤0"

c) C là mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định là:"∀x ∈ R, x³+2x²+8x+16≠0"

Với 2 số dương a,b ta có:

(√a - √b )² ≥ 0 ⇔ a - 2√ab +b ≥ 0 ⇔ a+b≥ 2√ab

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

vậy ta có dpcm

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương a và b có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\left(\text{Đ}PCM\right)\)

a,x²-4x≤5

⇔ x²-4x-5≤0

⇔ x²+x-5x-5 ≤ 0

⇔ (x²+x)-(5x+5) ≤ 0

⇔ x(x+1)-5(x+1) ≤ 0

⇔ (x+1)(x-5) ≤ 0

vậy -1 ≤ x ≤ 5

Công thức tổng quát:(n(n+3))/((n+1)(n+2))

=((n(n+3))/(n+1))-((n(n+3))/(n+2))

=n(1+2/(n+1) -1-1/(n+2))

=1-2/(n+1) +2/(n+2)

=>N=1-2/2+2/3+1-2/3+2/4+1-2/4+2/5+1-2/99+2/100

=97+2/100=4851/50