Nội dung lý thuyết
Xét các ví dụ sau:
+ "Phan - xi - păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam" ;
+ "\(\pi^2< 9,86\)" ;
+ "\(100\) là một số nguyên tố" ;
+ "Mệt quá!" ;
+ "Chị ơi mấy giờ rồi?"
Ta nhận thấy:
+ Ví dụ số 1 là một khẳng định đúng;
+ Ví dụ số 2 và 3 là những khẳng định sai;
+ Ví dụ số 4 và 5 là những khẳng định không thể đánh giá là đúng hay sai.
Ta nói rằng: Khẳng định số 1, 2 và 3 là những mệnh đề; khẳng định số 4 và 5 không phải là những mệnh đề.
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Ví dụ về các mệnh đề:
+ "Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Đây là một mệnh đề đúng.
+ "Căn bậc hai của 25 là 5". Đây là một mệnh đề đúng.
+ "Hình chữ nhật là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau". Đây là một mệnh đề sai.
Xét câu "\(n\) chia hết cho 3".
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên với mỗi giá trị của \(n\) thuộc tập số nguyên, câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn
Với \(n=4\) ta được mệnh đề "4 chia hết cho 3" (sai).
Với \(n=6\) ta được mệnh đề "6 chia hết cho 3" (đúng).
Xét câu "\(2+n=5\)".
Cũng như trên, ta thấy với mỗi giá trị của \(n\) thuộc tập số nguyên ta được một mệnh đề. Chẳng hạn:
Với \(n=4\) ta được "\(2+4=5\)" (sai).
Với \(n=3\) ta được "\(2+3=5\)" (đúng).
Hai câu trên là những ví dụ về mệnh đề chứa biến.
Ví dụ về mệnh đề chứa biến:
+ "\(x\) là một số nguyên lớn hơn 3." ;
+ "\(m+n\ge2\)"
Để phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Ví dụ: Mệnh đề: "Phan - xi - păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam"
Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: "Phan - xi - păng không phải là ngọn núi cao nhất Việt Nam".
Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\) là \(\overline{P}\), ta có
\(\overline{P}\) đúng khi \(P\) sai.
\(\overline{P}\) sai khi \(P\) đúng.
Ví dụ:
+) \(P\) : "3 là một số nguyên tố" (đúng) ;
\(\overline{P}\) : "3 không phải là một số nguyên tố" (sai).
+) \(Q\) : "12 chia hết cho 5" (sai) ;
\(\overline{Q}\) : "12 không chia hết cho 5" (đúng).
+) \(P\) : "Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba" (đúng) ;
\(\overline{P}\) : "Tổng hai cạnh của một tam giác không lớn hơn cạnh thứ ba" (sai).
+) \(Q\) : "\(\pi\) là một số hữu tỉ" (sai) ;
\(\overline{Q}\) : "\(\pi\) không phải là một số hữu tỉ" (đúng).
Mệnh đề "Nếu \(P\) thì \(Q\)" được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là \(P\Rightarrow Q\).
Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) còn được phát biểu là "\(P\) kéo theo \(Q\)" hoặc "Từ \(P\) suy ra \(Q\)".
Ví dụ 1: Mệnh đề \(P\): "Gió mùa Đông Bắc về"
Mệnh đề \(Q\): "Trời trở lạnh"
Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) là: "Nếu gió mùa Đông Bắc về thì trời trở lạnh."
Ví dụ 2: Mệnh đề \(P\): "Một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau"
Mệnh đề \(Q\): "Nó là hình thoi"
Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) là: "Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì nó là hình thoi."
Ví dụ 3: Mệnh đề \(P\): "\(a^2=b^2\), (\(a,b\in Z\))"
Mệnh đề \(Q\): "\(a=b\)"
Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) là: " \(a^2=b^2\) (\(a,b\in Z\)) \(\Rightarrow\) \(a=b\)."
Ta thấy, mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) ở ví dụ 3 là một mệnh đề sai.
Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng và \(Q\) sai.
Ví dụ 4: Mệnh đề "\(-3< -2\Rightarrow\left(-3\right)^2< \left(-2\right)^2\)" sai ;
Mệnh đề "\(\sqrt{3}< 2\Rightarrow3< 4\)" đúng.
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng \(P\Rightarrow Q\). Khi đó ta nói:
\(P\) là giả thiết, \(Q\) là kết luận của định lí, hoặc
\(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\), hoặc
\(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).
Ví dụ : \(P\): "Tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^0\)"
\(Q\): "\(ABC\) là một tam giác đều"
Ta có định lí \(P\Rightarrow Q\) là: "Nếu tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^0\) thì tam giác \(ABC\) là một tam giác đều."
Giả thiết của định lí là: Tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^0\)
Kết luận của định lí là: Tam giác \(ABC\) là một tam giác đều.
Hoặc: Tam giác \(ABC\) có hai góc bằng \(60^0\) là điều kiện đủ để \(ABC\) là một tam giác đều;
Tam giác \(ABC\) là một tam giác đều là điều kiện cần để \(ABC\) có hai góc bằng \(60^0\).
Mệnh đề \(Q\Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P\Rightarrow Q\).
Ví dụ 1:
+ Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\): "Nếu \(ABC\) là một tam giác đều thì \(ABC\) là một tam giác cân". (Đúng)
+ Mệnh đề \(Q\Rightarrow P\): "Nếu \(ABC\) là một tam giác cân thì \(ABC\) là một tam giác đều". (Sai)
Ví dụ 2:
+ Mệnh đề \(P\Rightarrow Q\): "Nếu \(ABC\) là một tam giác đều thì \(ABC\) là một tam giác cân và có một góc bằng \(60^0\)." (Đúng)
+ Mệnh đề \(Q\Rightarrow P\): "Nếu \(ABC\) là một tam giác cân và có một góc bằng \(60^0\) thì \(ABC\) là một tam giác đều." (Đúng)
- Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề không nhất thiết là đúng.
Nếu cả hai mệnh đề \(P\Rightarrow Q\) và \(Q\Rightarrow P\) đều đúng ta nói \(P\) và \(Q\) là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu \(P\Leftrightarrow Q\) và đọc là
\(P\) tương đương \(Q\), hoặc
\(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\), hoặc
\(P\) khi và chỉ khi \(Q\).
Ví dụ: +) Tam giác \(ABC\) là tam giác cân và có một góc bằng \(60^0\) là điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) là tam giác đều ;
+) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
Kí hiệu \(\forall\) đọc là "với mọi" ;
Kí hiệu \(\exists\) đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một).
Ví dụ 1:
+) Mệnh đề "\(\forall n\in Z:n+1>n\)" có thể phát biểu là: "Với mọi số nguyên \(n\), ta luôn có \(n+1>n\)". Đây là một mệnh đề đúng (do 1>0 nên \(n+1>n\)).
+) Mệnh đề "\(\exists x\in Z:x^2=x\)" có thể phát biểu là: "Tồn tại một số nguyên \(x\) sao cho \(x^2=x\)". Đây là một mệnh đề đúng (ví dụ \(x=1\)).
Ví dụ 2:
+) Xét mệnh đề \(P\) : "\(\forall x\in R:x^2\ne1\)" (Với mọi số thực \(x\) thì bình phương của nó luôn khác 1). Đây là một mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định \(\overline{P}\) : "\(\exists x\in R:x^2=1\)" (Tồn tại ít nhất một số thực \(x\) có bình phương bằng 1) . Đây là một mệnh đề đúng (ví dụ \(x=1\))