§1. Đại cương về phương trình

Điều kiện xác định : \(x\ne-1\)

Phương trình đã cho tương đương với :

\(6^x.4^{x^2}=4.6^{\frac{2x}{x+1}}\Leftrightarrow4^{x^2-1}=6^{\frac{x-x^2}{x+1}}\Leftrightarrow x^2-1=\frac{x-x^2}{x+1}\log_46\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x+1\right)^2+x\log_46\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=\frac{-2-\log_46\pm\sqrt{\log^2_46+4\log_46}}{2}\end{array}\right.\) (thỏa mãn điều kiện)

2^x*3^x*\(4^{x^2}\)=\(\frac{4.36x}{x+1}\)

\(2^x.3^x.4^{x^2}=\frac{144x}{x+1}\)

\(2^x.3^x.4^{x^2}-\frac{144x}{x+1}=0\)

\(\frac{\left(x+1\right)2^x.3^x.4^{x^2}-144x}{x+1}=0\)

\(\left(x+1\right)2^x.3^x.4^{x^2}-144x=0\)

\(x=\frac{71}{10000}\)

áđ

Phương trình tương đương với \(2.\left(4^x\right)^2-15.4^x-8=0\)

Đặt \(t=4^x,t>0\), phương trình trở thành :

\(2t^2-15t-8=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=8\\t=-\frac{1}{2}\left(1\right)\end{array}\right.\)

Với \(t=8\) ta có \(4^x=8\Leftrightarrow2^{2x}=2^3\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{3}{2}\)

Ta có phương trình : 

             \(2.\left(2^{\sin x\cos x}\right)^2+2^{\sin x\cos x}-10=0\)

Đặt \(t=2^{\sin x\cos x},t>0\) 

Ta có phương trình trở thành : \(2t^2+t-10=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-\frac{5}{2}\left(1\right)\end{array}\right.\)

Với \(t=2\Rightarrow2^{\sin x\cos x}=2\Leftrightarrow\sin x\cos x=1\)

                                        \(\Leftrightarrow\sin2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\end{array}\right.\)

                                        \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{array}\right.\) => Đây là 2 nghiệm của phương trình

Đặt \(t=3^{\frac{2x-x^2}{2}},t>0\) ta có phương trình trở thành :

\(3t^2+t-4=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=-\frac{4}{3}\left(1\right)\end{array}\right.\)

Với \(t=1\Leftrightarrow3^{\frac{-x^2+2x}{2}}=1\Leftrightarrow-x^2+2x=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=2\end{array}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0;x=2\)

Phương trình tương đương với :

           \(4\left(2^{2x}+2^{-2x}\right)-4\left(2^x+2^{-x}\right)-7=0\)

Đặt \(t=2^{2x}+2^{-2x}\) ta có : \(t^2=2^{2x}+2^{-2x}+2\)

Phương trình trở thành :

 \(4\left(t^2-2\right)-4t-7=0\)

\(\Leftrightarrow4t^2-4t-15=0\)

\(\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\) ( thỏa mãn) hoặc \(t=-\frac{3}{2}\) (loại)

Với \(t=\frac{5}{2}\) ta có : \(2^x+2^{-x}=\frac{5}{2}\)

Đặt \(u=2^x,u>0\Rightarrow\frac{1}{u}=2^{-x}\)

Phương trình trở thành : \(u+\frac{1}{u}=\frac{5}{2}\Rightarrow2u^2+5u+2=0\)

                                                     \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}u=2\\u=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

Khi \(u=2\Rightarrow2^x=2\Leftrightarrow x=1\)

Khi \(u=\frac{1}{2}\Rightarrow2^x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm : \(x=\pm1\)

Viết lại phương trình dưới dạng :

\(4^{x^2-3x+2}+4^{2x^2+6x+5}=4^{x^2-3x+2}.4^{2x^2+6x+5}+1\)

Đặt \(\begin{cases}u=4^{x^2-3x+2}\\v=4^{2x^2+6x+5}\end{cases}\)\(;u,v>0\)

Khi đó phương trình tương đương với :

\(u+v=uv+1\Leftrightarrow\left(u-1\right)\left(1-v\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}u=1\\v=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}4^{x^2-3x+2}=1\\4^{2x^2+6x+5}=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x^2-3x+2=0\\2x^2+6x+5=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=2\\x=-1\\x=-5\end{array}\right.\)

Do \(2+4^x>0\) với mọi \(x\in R\) nên phương trình đã cho tương đương với :

\(2-x=\frac{6}{2+4^x}\Leftrightarrow x+\frac{6}{2+4^x}-2=0\)

Đặt \(f\left(t\right)=t+\frac{6}{2+4^t}-2,t\in R;f'\left(t\right)=\frac{4^{2t}+4^t\left(4-6.\ln4\right)+4}{\left(2+4^t\right)^2}\)

và \(f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow4^{2t}+4^t\left(4-6.\ln4\right)+4=0\)

Đây là phương trình bậc hai theo biến \(4^t\) nên nó có không quá hai nghiệm.

Do đó phương trình \(f'\left(t\right)=0\) có không quá hai nghiệm (mỗi giá trị dương của \(4^t\) cho ta đúng một giá trị của \(t\)

Từ đó ta thấy phương trình \(f\left(t\right)=0\) có không quá 3 nghiệm

Mặt khác, ta cũng có \(f\left(0\right)=f\left(1\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0\) nên các giá trị này cũng nghiệm đúng phương trình ban đầu.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : \(x=0;x=1;x=\frac{1}{2}\)

Phương trình đã cho tương đương : 

                            \(x^2-3x+2+2^x\left(x-2\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)+2^x\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\2^x+x-1=0\end{array}\right.\)

Xét hàm số : \(f\left(x\right)=2^x+x-1;f'\left(x\right)=2^x\ln2+1>0,x\in R\)

Vậy \(f\left(x\right)\) đồng biến trên R. Lại có \(f\left(0\right)=0\) nên phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm duy nhất \(x=0\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=0;x=2\)

\(\Leftrightarrow2^{\cos2x-1}\left(2\cos x-1\right)=2\cos^2x\left(2\cos x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\cos x-1\right)\left(2^{\cos2x}-2\cos^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos x=\frac{1}{2}\\2^{\cos2x}=\cos2x+1\end{array}\right.\)

* Với \(\cos x=\frac{1}{2}\) ta có \(x=\frac{\pi}{3}=k2\pi,k\in Z\)

* Với \(2^{\cos2x}=\cos2x+1\) (*), đặt \(t=\cos2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Phương trình trở thành \(2^t-t-1=0\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=2^t-t-1,t\in\left[-1;1\right]\)

Có \(f'\left(t\right)=2^t\ln2-1,t\in\left[-1;1\right];f'\left(t\right)=0\) có đúng 1 nghiệm  nên phương trình \(f\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm. Mà \(f\left(0\right)=f\left(1\right)=0\) nên \(t=0;t=1\) là tất cả các nghiệm của phương trình \(f\left(t\right)=0\)

Do đó phương trình (*) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos2x=0\\\cos2x=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\x=k\pi\end{array}\right.\) \(k\in Z\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :

\(x=\frac{\pi}{3}+k2\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2};x=k\pi;k\in Z\)

Phương trình đã cho tương đương với : 

\(\left(2^{2^x}-2^{x+1}\right)+\left(3^{2^x}-3^{x+1}\right)=x+1-2^x\)

Ta xét các trường hợp sau :

* Nếu \(2^x>x+1\) thì \(2^{2^x}-2^{x+1}>0;3^{2^x}-3^{x+1}>0;x+1-2^x< 0\) nên phương trình đã cho không thỏa mãn.

* Nếu \(2^x< x+1\) thì \(2^{2^x}-2^{x+1}< 0;3^{2^x}-3^{x+1}< 0;x+1-2^x>0\) nên phương trình đã cho không thỏa mãn.

* Nếu \(2^x=x+1\) thì phương trình đã cho thỏa mãn và khi đó nghiệm của nó cũng là nghiệm của \(2^x=x+1\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=2^t-\left(t+1\right)\) ta thấy \(f'\left(t\right)=2^t.\ln2-1;f"\left(t\right)=2^t\left(\ln2\right)^2>0\) nên phương trình  có không quá 2 nghiệm phân biệt

Ta lại thấy \(f\left(0\right)=f\left(1\right)=0\) nên phương trình \(f\left(t\right)=0\) có đúng 2 nghiệm là 0 và 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x=0;x=1\)