Ôn tập chương III

1. Đại cương về phương trình

- Phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) (1), trong đó \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) là những biểu thức của \(x\). Ta gọi \(f\left(x\right)\) là vế trái, \(g\left(x\right)\) là vế phải của phương trình (1).

- Nếu có số thực \(x_0\) sao cho \(f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)\) là mệnh đề đúng thì \(x_0\) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

- Giải phương trình (1) là tìm tất cả các tập nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). 

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

- Khi giải phương trình (1) ta cần lưu ý đối với ẩn số \(x\) sao cho \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Đó là điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình).

Ví dụ: Điều kiện của phương trình \(3-x^2=\dfrac{x}{\sqrt{2-x}}\) là \(x< 2\).

- Một phương trình có thể chỉ chứa một ẩn, cũng có thể chứa nhiều ẩn. 

Ví dụ: Bộ số \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) là một nghiệm của phương trình 2 ẩn \(3x+2y=x^2-2xy+8\) ;

          Bộ số \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;1;2\right)\) là một nghiệm của phương trình 3 ẩn \(4x^2-xy+2z=3x^2+2xz+y^2\).

- Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

Ví dụ: Phương trình \(x^2+2x-m=0\) là một phương trình ẩn \(x\) chứa tham số \(m\).

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Hai phương trình tương đương với nhau được kí hiệu bởi dấu "\(\Leftrightarrow\)".

- Định lí: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương:

     + Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức ;

     + Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ: \(\dfrac{x-1}{3}=2x+5\) \(\Leftrightarrow x-1=3\left(2x+5\right)\) ; ...

- Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) đều là nghiệm của phương trình \(f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)\) thì phương trình \(f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\). Ta viết: \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) \(\Rightarrow\) \(f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)\).

2. Ôn tập về phương trình bậc nhất, bậc hai

- Cách giải và biện luận phương trình dạng \(ax+b=0\) được tóm tắt trong bảng sau:

 - Cách giải và biện luận phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau:

- Định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thì:

                       \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)  và   \(x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\)

Ngược lại nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u+v=S\) và tích \(uv=P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\).

3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

- Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Giải phương trình \(\left|x-3\right|=2x+1\) (2)

Cách 1: 

Nếu \(x\ge3\) thì phương trình (2) trở thành \(x-3=2x+1\). Từ đó \(x=-4\). Do \(x=-4\) không thoả mãn điều kiện \(x\ge3\) nên bị loại.

Nếu \(x< 3\) thì phương trình (2) trở thành \(3-x=2x+1\). Từ đó \(x=\dfrac{2}{3}\). Giá trị này thoả mãn điều kiện \(x< 3\) nên đây là nghiệm.

Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình (2) đưa đến phương trình hệ quả:

          \(\left|x-3\right|=2x+1\)  \(\Rightarrow\left(x-3\right)^2=\left(2x+1\right)^2\)

                                      \(\Rightarrow x^2-6x+9=4x^2+4x+1\)

                                      \(\Rightarrow3x^2+10x-8=0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \(x=-4\) và \(x=\dfrac{2}{3}\).

Thử lại ta thấy chỉ có \(x=\dfrac{2}{3}\) là nghiệm của phương trình (2).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=\dfrac{2}{3}\).

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dấu căn.

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt{2x-3}=x-2\)  (3).

Điều kiện của phương trình (3) là: \(x\ge\dfrac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa đến phương trình hệ quả:

        \(\sqrt{2x-3}=x-2\)  \(\Rightarrow2x-3=\left(x-2\right)^2\)

                                     \(\Rightarrow2x-3=x^2-4x+4\)

                                     \(\Rightarrow x^2-6x+7=0\)

Phương trình này có hai nghiệm là \(x=3+\sqrt{2}\) và \(x=3-\sqrt{2}\). Cả hai nghiệm này đều thoả mãn điều kiện của phương trình (3) nhưng khi thay vào phương trình (3) thì chỉ có giá trị \(x=3+\sqrt{2}\)thoả mãn. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=3+\sqrt{2}\).

4. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{matrix}\right.\), trong đó \(x,y\) là hai ẩn, các chữ còn lại là hệ số.

Nếu cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì \(\left(x_0;y_0\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình đó.

Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Ví dụ: Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\2x+y=5\end{matrix}\right.\) (4)

Cách 1: Phương pháp thế:

 \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\2x+y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3\left(5-2x\right)=9\\y=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x-15=9\\y=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{12}{5}\\y=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Cách 2: Phương pháp cộng đại số:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\2x+y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=9\\6x+3y=15\end{matrix}\right.\) 

Cộng theo vế của hai phương trình trên ta được \(10x=24\Leftrightarrow x=\dfrac{12}{5}\)

Thay \(x=\dfrac{12}{5}\) ta tìm được \(y=\dfrac{1}{5}\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình (4) là \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{1}{5}\right)\).

5. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{matrix}\right.\), trong đó \(x,y,z\) là ba ẩn, các chữ còn lại là hệ số.

Mỗi bộ ba số \(\left(x_0;y_0;z_0\right)\) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ.

Chẳng hạn: \(\left(\dfrac{17}{4};-\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-2z=-1\\4y+3z=\dfrac{3}{2}\\2z=3\end{matrix}\right.\) ;

                    \(\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2z=\dfrac{1}{2}\\2x+3y+5z=-2\\-4x-7y+z=-4\end{matrix}\right.\).