Đặt a = 1999
Khi đó biểu thứ tương đương với: \(\dfrac{x}{\left(x+a\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(x+x\right)^2-\left(x+a\right)^2-4}{4a\left(x+a\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(x+a\right)^2-\left(x-a\right)^2}{4a\left(x+a\right)^2}=\dfrac{1}{4a}-\dfrac{\left(x-a\right)^2}{4a\left(x+a\right)^2}\le\dfrac{1}{4a}\) (với \(a>0\), \(x>0\))
Vì \(a>0\) nên \(4a\left(x+a\right)^2\ge0\Rightarrow-\dfrac{\left(x-a\right)^2}{4a\left(x+a\right)^2}\le0\forall x\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{\left(x+1999\right)^2}=\dfrac{1}{4a}\Leftrightarrow x=a\)
Thay \(x=1999\) ta có giá trị lớn nhất của biểu thức \(\dfrac{x}{\left(x+1999\right)^2}=\dfrac{1}{4.1999}\Leftrightarrow x=1999\)
