Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}\left(x+y-\frac{x+y}{2}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{x+y}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" khi x = y = 1/2
Có làm thì mới có bài không làm mà muốn có bài chỉ ăn c ăn đầu b
Trịnh Việt Cường Có mồm gáy mà ko có tay sol thì cut
Ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Mặt khác:
\(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(\Rightarrow2P\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=1/2
Từ giả thiết x,y>0, x+y=1 ta có y=1-x, 0<x<1
Khi đó ta có \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}\). Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}},f'\left(x\right)=\frac{2-x}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}-\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
*Đến đây lập bảng biến thiên*
Từ bảng biến thiên => MinP\(min_{\left(x\in\left(0;1\right)\right)}f\left(x\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}\)đạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
