\(\frac{-m+1}{m+8}+\frac{m-1}{m+3}\)( ĐKXĐ : \(x\ne-8;x\ne-3\))
\(=\frac{\left(-m+1\right)\left(m+3\right)}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}+\frac{\left(m-1\right)\left(m+8\right)}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
\(=\frac{-m^2-2m+3}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}+\frac{m^2+7m-8}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
\(=\frac{-m^2-2m+3+m^2+7m-8}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
\(=\frac{5m-5}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
Để biểu thức dương ( tức > 0 ) ta xét hai trường hợp sau :
I) \(\hept{\begin{cases}5m-5>0\\\left(m+8\right)\left(m+3\right)>0\end{cases}}\)
+) 5m - 5 > 0 => 5m > 5 => m > 1 (1)
+) ( m + 8 )( m + 3 ) > 0
1. \(\hept{\begin{cases}m+8>0\\m+3>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-8\\m>-3\end{cases}}\Leftrightarrow m>-3\)(2)
2. \(\hept{\begin{cases}m+8< 0\\m+3< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m< -8\\m< -3\end{cases}}\Leftrightarrow m< -8\)(3)
Từ (1) , (2) và (3) => m > 1
II) \(\hept{\begin{cases}5m-5< 0\\\left(m+8\right)\left(m+3\right)< 0\end{cases}}\)
+) 5m - 5 < 0 => 5m < 5 => m < 1 (4)
+) ( m + 8 )( m + 3 ) < 0
1. \(\hept{\begin{cases}m+8< 0\\m+3>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m< -8\\m>-3\end{cases}}\)( loại )
2. \(\hept{\begin{cases}m+8>0\\m+3< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-8\\m< -3\end{cases}}\Leftrightarrow-8< m< -3\)(5)
Từ (4) và (5) => -8 < m < -3
Từ I) và 2)
=> Với m > 1 hoặc -8 < m < -3 thì biểu thức có giá trị dương
\(\frac{\left(m+1\right)\left(m-5\right)}{2}\)có giá trị âm
=> ( m + 1 )( m - 5 ) < 0
Xét hai trường hợp :
1. \(\hept{\begin{cases}m+1< 0\\m-5>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m< -1\\m>5\end{cases}}\)( loại )
2. \(\hept{\begin{cases}m+1>0\\m-5< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-1\\m< 5\end{cases}}\Leftrightarrow-1< m< 5\)
Vậy với -1 < m < 5 thì biểu thức có giá trị âm
Bài làm:
a) Ta có: \(\frac{-m+1}{m+8}+\frac{m-1}{m+3}\) \(\left(m\ne\left\{-8;-3\right\}\right)\)
\(=\frac{\left(1-m\right)\left(m+3\right)+\left(m-1\right)\left(m+8\right)}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
\(=\frac{\left(m-1\right)\left(m+8-m-3\right)}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
\(=\frac{5\left(m-1\right)}{\left(m+8\right)\left(m+3\right)}\)
Để BT có giá trị dương thì ta xét 2 TH sau:
+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}5\left(m-1\right)>0\\\left(m+8\right)\left(m+3\right)>0\end{cases}}\Rightarrow m>1\)
+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}5\left(m-1\right)< 0\\\left(m+8\right)\left(m+3\right)< 0\end{cases}}\Rightarrow-8< m< -3\)
b) Ta có: \(\frac{\left(m+1\right)\left(m-5\right)}{2}< 0\)
=> \(\left(m+1\right)\left(m-5\right)< 0\)
Ta xét 2 TH sau:
+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}m+1>0\\m-5< 0\end{cases}}\Rightarrow-1< m< 5\)
+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}m+1< 0\\m-5>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m< -1\\m>5\end{cases}}\) (mâu thuẫn)
Vậy \(-1< m< 5\)