Question

Với a,b,c,d dương, chứng minh rằng \(F=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)

Answer 1

đây là dạng mở rộng của nesbit 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski :

\(\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right].F\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

Tương đương  \(F\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)}\)

Ta có : \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge4\left(a+d\right)\left(b+c\right)\)

\(\left(a+b+c+d\right)^2\ge4\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(2\left(a+b+c+d\right)^2\ge4\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\)

Suy ra \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{2}=2\)

Vậy ta có điều phải chứng minh 

Answer 2

bạn @dcv thêm phần dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=c;b=d\)