Question

Với \(a,b>0.CMR:\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)

Answer 1

Áp dụng Cauchy ta có :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)(1)

\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}\)(2)

Cộng vế của (1) và (2) ta được :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\) (đpcm)