(Vĩnh Phúc - 2020)
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻhai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Đường thẳng đi qua (O) vuông góc với đường thẳng AD và cắt AD, BC lần lượt tại K, E. Gọi I à giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh rằng các tứ giác ABOC, AIKE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng OI.OA = OK.OE.
c) Biết OA = 5cm, đường tròn (O) có bán kính R = 3cm. Tính độ dài đoạn thẳng BE.
(Khánh Hòa - 2020)
Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm ngoài đường tròn. Qua I kẻ hai tiếp tuyến IM và IN với đường tròn (O). Gọi K là điểm đối xứng với M qua O. Đường thẳng IK cắt đường tròn (O) tại H.
a) Chứng minh tứ giác IMON nội tiếp.
b) Chứng minh IM.IN = IH.IK.
c) Kẻ NP vuông góc với MK. Chứng minh đường thẳng IK đi qua trung điểm của NP.
(Đà Nẵng - 2020)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm D (không trùng với B và C). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từC đến AB (H thuộc AB) và E là giao điểm của CH với AD.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDEH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng $AB^2 = AE.AD + BH.BA$.
c) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt BC tại F. Chứng minh rằng \(\widehat{CDF}=90^\circ\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác OBD đi qua trung điểm của CF.
(Thái Bình - 2020)
Qua điểm M bên ngoài đường tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO $\bot$ AB.
b) Chứng minh MA.AD = MD.AC.
c) Gọi I là trung điểm của dây CD và E là giao điểm của hai đường thẳng AB và OI. Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R khi $OI = \dfrac{R}{3}$.
d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M đề điện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ nhất.
(Hà Nội - 2019)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại điểm H.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, E,F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh OA $\bot$ EF.
c) Gọi K là trung điểm của BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP.
(Bến Tre - 2020)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao BE, CF cắt nhau tại (H $\in$ AC, F $\in$ AB).
a) Chứng minh tam giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh AH $\bot$ BC.
c) Gọi P, G là hai giao điểm của đường thẳng EF và đường tròn (O) sao cho điểm E nằm giữa P và F. Chứng minh AO là đường trung trực của đoạn thẳng PG.
(Quảng Ngãi - 2020)
Cho nửa đường tròn đường tâm O, đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó ( M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta vẽ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) Chứng minh tứ giác EFMK nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác BAF cân.
c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi.
d) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được đường tròn.
