Giả sử \(100\)viết được thành tổng của \(k\)số tự nhiên liên tiếp, số hạng đầu tiên là \(n+1\).
Ta có: \(100=\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+...+\left(n+k\right)\)
\(100=kn+\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)
\(200=k\left(2n+k+1\right)\)
Suy ra \(k,2n+k+1\)đều là ước của \(200\).
Ta có \(200=2^3.5^2\), \(k< 2n+k+1\), \(k\)và \(2n+k+1\)khác tính chẵn lẻ nên ta có bảng sau:
k | 1 | 5 | 8 |
2n+k+1 | 200 | 40 | 25 |
n | 99 | 17 | 8 |
Vậy ta có các cách biểu diễn số \(100\)thành tổng các số tự nhiên liên tiếp như sau:
- \(100=100\).
- \(100=18+19+20+21+22\).
- \(100=9+10+11+12+13+14+15+16\).
giả sử k là số tự nhiên liên tiếp n+1,n+2,...n+k . n,k lớn hơn hoặc bằng 2 cố tổng bằng 100
ta có (n+1)+(n+2).k/2=100
=>(2n+k+1).k=200
nhận xét 2n+k+1>k;(2n+k +1)-k=2n+1 là một số lẻ
từ đó ta có các trường hợp
k=5=>n=17,k=8=>n=8
giả sử k là số tự nhiên liên tiếp , số hạng đầu tiên là n+1
(n+1)+(n+2).k/2=100
=>(2n+k+1).k=200
k<2n+k+1 và 2n+k+1là 1 số lẻ
=>k=5-> n=17
k=8-> n=18
18+19+20+21+22=100
9+10+11+12+13+14+15+16=100
18+19+20+21+22=100
Giả sử viết được thành tổng của số tự nhiên liên tiếp, số hạng đầu tiên là .
Ta có:
Suy ra đều là ước của .
Ta có , , và khác tính chẵn lẻ nên ta có bảng sau:
k | 1 | 5 | 8 |
2n+k+1 | 200 | 40 | 25 |
n | 99 | 17 | 8 |
Vậy ta có các cách biểu diễn số thành tổng các số tự nhiên liên tiếp như sau:
- .
- .
- .
Giả sử số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng .
Ta có:
Nhận xét: ; là một số lẻ.
Từ đó ta có các trường hợp:
+) ;
+) .
Giả sử số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng .
Ta có:
Nhận xét: ; là một số lẻ.
Từ đó ta có các trường hợp:
+) ;
+) .
Giả sử (n, k ∈N, k≥2) có tổng S bằng 100.
Ta có:
S=[(n+1)+(n+k)].k2 =100⇔(2n+k+1).k=200.
Nhận xét: 2n+k+1>k; (2n+k+1)−k=2n+1 là một số lẻ.
Từ đó ta có các trường hợp:
+) k=5⇒n=17;
+) k=8⇒n=8.
100=9+10+11+12+13+14+15+16
100=18+19+20+21+22
18+19+20+21+22=100
9+10+11+12+13+14+15+16=100
giả sử k là số tự nhiên liên tiếp n+1,n+2,...n+k . n,k lớn hơn hoặc bằng 2 cố tổng bằng 100
ta có (n+1)+(n+2).k/2=100
=>(2n+k+1).k=200
nhận xét 2n+k+1>k;(2n+k +1)-k=2n+1 là một số lẻ
từ đó ta có các trường hợp
k=5=>n=17,k=8=>n=8
18+19+20+21+22=100
100=9+10+11+12+13+14+15+16
18+19+20+21+22=100