Question

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi BD là dây của đường tròn song song với AC, E là giao điểm của AD với đường tròn, I là giao điểm của BE và AC. Chứng minh rằng I là trung điểm của AC.

Answer 1

IEIC=ICIB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">IEIC=ICIB" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">IEIC=ICIB

AIBI=IEIA→IA2=IB.IE" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AIBI=IEIA→IA2=IB.IE

$\to I{}^{}=I{}^{}\to IA=IC\to I$ là trung điểm AC

Answer 2

Dễ có IC là tiếp tuyến của đường tròn nên IC² = IB.IE (1)

Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có: ^EBA = ^BDA

Lại có: ^BDA = ^DAC (BD//AC, hai góc so le trong)

Từ đó suy ra ^EBA = ^DAC

∆AIE và ∆BIA có: ^AIB là góc chung, ^EBA = ^DAC (cmt) nên ∆AIE ~ ∆BIA (g.g)

=>\(\frac{IA}{IE}=\frac{IB}{IA}\Rightarrow IA^2=IB.IE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA² = IC² hay IA = IC

Vậy I là trung điểm của AC (đpcm)

Answer 3

Dễ có IC là tiếp tuyến của đường tròn nên IC² = IB.IE (1)

Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có: ^EBA = ^BDA

Lại có: ^BDA = ^DAC (BD//AC, hai góc so le trong)

Từ đó suy ra ^EBA = ^DAC

∆AIE và ∆BIA có: ^AIB là góc chung, ^EBA = ^DAC (cmt) nên ∆AIE ~ ∆BIA (g.g)

=>(2)

Từ (1) và (2) suy ra IA² = IC² hay IA = IC

Vậy I là trung điểm của AC (đpcm)

Answer 4

Answer 5

Xét (O) có: EBC là góc nội tiếp chắn EC

                    ECA là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung EC

=> EBC = ECA (hệ quả)

Xét ∆ICE và ∆IBC có:

            EBC = ECA (cmt)

            BIC chung

=> ∆≈∆ (g.g)

     => IC/IB = IE/IC (tương ứng) => IC²= IE.IB

 

Có ABE là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BE

      BDA là góc nội tiếp chắn cung BE

 

=> ABE = BDA (hệ quả)

Có BD//AC => BDA = DAC (so le trong)

 

=> ABE = DAC 

Xét ∆AIE và ∆BIA có

ABE = DAC (cmt)

AIB chung

=> ∆≈∆ (g.g)

=> AI/IB = IE/AI

=> AI²=IE.IB

     Mà IC² = IE.IB

 

=>AI² = IC² => AI= IC

Answer 6

Answer 7

Answer 8

Answer 9

Xét (O) có BD song song AC(gt)→ADB = DAC(slt)(1); ADB = ABE = 1/2 sđ cung BE( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE chắn cung BE)(2) Từ (1) và (2) → ABE = DAC

Xét △IAE và △IBA có AIE chung; ABE = IAE(cmt)→ △IAE \(\sim\) △IBA(g-g)→AI/BI=IE/AI(tương ứng)→AI²=BI.IE(1)

Xét △IBC và △ICE có IBC = ICE = 1/2 sđ cung CE( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến AIC và dây cung CE chắn cung CE); BIC hay EIC chung →△IBC \(\sim\) △ICE(g-g)→IB/IC=IC/IE

→IC²= BI.IE(2) Từ (1),(2)→AI²=IC²→AI=IC mà BE giao AC tại I(gt)⇒I là trung điểm của AC(đpcm)  

Answer 10

Answer 11

Answer 12

Answer 13

Answer 14

Answer 15

Answer 16

Answer 17

Answer 18

Answer 19

Answer 20

Answer 21

Answer 22

Answer 23

Answer 24

Answer 25

Answer 26

Answer 27

Answer 28

Answer 29

Answer 30