Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC(B,C là tiếp điểm) với đường tròn (O).
câu a: chứng minh AO vuông góc với BC tại H.
câu b: vẽ đường kính CD của đường tròn (O), AD cắt đường tròn tại M(M khác D). chứng minh tứ giác AMHC nội tiếp
.câu c: tia BM cắt AO tại N. chứng minh NH^2=NM.NB và NA=NH.
câu d: tia AO cắt đường tròn tại I và K(I nằm giữa A và O). chứng minh rằng :1/AN=1/AI+1/AK.
ai giúp mình với ạ! mình đang cần gấp , thanks nhiều ạ!
a. Vì AB,AC là 2 tiếp tuyến của đt (O) (gt) => AO là phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Định lý 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
Mà \(\Delta BOC\)cân tại O (Do OB = OC = R) => AO là đường cao của \(\Delta\)BOC (T/c \(\Delta\)cân) => \(AO\perp BC\)tại H (Đpcm)
b. Ta có: \(\widehat{CMD}=90^o\)(Góc nội tiếp chắn nửa đt) => \(CM\perp AM\Rightarrow\widehat{AMC}=90^o\)
\(Do\)\(AO\perp BC\)tại H (cmt) => \(\widehat{AHC}=90^o\)
Xét tứ giác AMHC có: \(\widehat{AMC}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)=> Tứ giác AMHC là tứ giác nội tiếp (Dhnb) => Đpcm
c.
Xét đt (O) có: \(\widehat{MBC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}=\widehat{NBH}\)(T/c góc nội tiếp)
\(\widehat{ACM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) => \(\widehat{ACM}=\widehat{NBH}\)(1)
Vì AMHC là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{ACM}=\widehat{AHM}=\widehat{NHM}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{AM}\)) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{NBH}=\widehat{NHM}\)
Xét \(\Delta NBH\)và \(\Delta NHM\)có:
+ \(\widehat{NBH}=\widehat{NHM}\left(cmt\right)\)
+ \(\widehat{N}\)chung
=> \(\Delta NBH~\Delta NHM\left(g.g\right)\) => \(\frac{NB}{NH}=\frac{NH}{NM}\Rightarrow NH^2=NM.NB\)(Đpcm) (3)
Vì tứ giác AMHC nội tiếp (Cmt) => \(\widehat{HAM}=\widehat{NAM}=\widehat{HCM}=\widehat{BCM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{HM}\))
Lại có: \(\widehat{NBA}=\widehat{MBA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) => \(\widehat{NAM}=\widehat{NBA}\)
Xét \(\Delta NAM\)và \(\Delta NBA\)có:
+ \(\widehat{NAM}=\widehat{NBA}\left(Cmt\right)\)
+ \(\widehat{N}\)chung
=> \(\Delta NAM~\Delta NBA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NA}{NB}=\frac{NM}{NA}\Rightarrow NA^2=NM.NB\)(4)
Từ (3) và (4) => \(NH^2=NA^2\Rightarrow NH=NA\left(Đpcm\right)\)
d.
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABO\)vuông tại B với đường cao BH ta được:
\(AB^2=AH.AO=AH.\frac{\left(OA+OA\right)}{2}=AH.\frac{\left(AK-OK+AI+OI\right)}{2}\)= \(AH.\frac{\left(AK+AI\right)}{2}\)(Do OK = OI = R)
= \(2AN.\frac{\left(AK+AI\right)}{2}=AN.\left(AK+AI\right)\)(Do NA =NH (cmt) => AH = 2AN) (5)
Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta AKB\)Có:
+ \(\widehat{A}\)chung
+ \(\widehat{ABI}=\widehat{AKB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BI}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
=> \(\Delta ABI~\Delta AKB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AI}{AB}\Rightarrow AB^2=AI.AK\)(6)
Từ (5) và (6) => \(AI.AK=AN.\left(AI+AK\right)\Rightarrow\frac{1}{AN}=\frac{AI+AK}{AI.AK}=\frac{1}{AI}+\frac{1}{AK}\)(Đpcm)
