Giả sử \(d\) là \(1\) đường thẳng bất kì và \(d'\) là đường thẳng nào đó vuông góc với \(d.\) Kí hiệu độ dài các hình chiếu của đoạn thẳng thứ \(i\)ên các đường thẳng \(d\)và \(d'\)là ai và bi tướng ứng.
Vì độ dài của mỗi đoạn thẳng bằng 1 nên ai + bi >1, với mọi i = 1, 2, ..., 4n
Do đó ( a1 + ... +a4n ) + ( b1 + ... +b4n ) \(\ge\)4n
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a1 + ... +a4n \(\ge\) b1 + ... +b4n.
Theo nguyên lí Dirichet ta có: a1 + ... +a4n \(\ge\)2n
Vì tất cả các đoạn thẳng đều nằm trong hình tròn đường kính 2n nên tất cả chúng được chiếu xuống đoạn thẳng có độ dài 2n.
Nếu như các hình chiếu của các đoạn thẳng đã cho trên đường thẳng \(d\)không có điểm chung, thì sẽ có:
a1 + ... +a4n < 2n ( mâu thuẫn ! ) Do đó trên \(d\)phải có 1 điểm, hí hiệu là \(H\)là hình chiếu của ít nhất 2 điểm trên hai đoạn thẳng đã cho.
Đường vuông góc với \(d\)tại \(H\)( hoặc song song với \(d'\)và đi qua \(H\)) là đường thẳng cần tìm.
Giả sử dd là 11 đường thẳng bất kì và d'd′ là đường thẳng nào đó vuông góc với d.d. Kí hiệu độ dài các hình chiếu của đoạn thẳng thứ iiên các đường thẳng ddvà d'd′là ai và bi tướng ứng.
Vì độ dài của mỗi đoạn thẳng bằng 1 nên ai + bi >1, với mọi i = 1, 2, ..., 4n
Do đó ( a1 + ... +a4n ) + ( b1 + ... +b4n ) \ge≥4n
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a1 + ... +a4n \ge≥ b1 + ... +b4n.
Theo nguyên lí Dirichet ta có: a1 + ... +a4n \ge≥2n
Vì tất cả các đoạn thẳng đều nằm trong hình tròn đường kính 2n nên tất cả chúng được chiếu xuống đoạn thẳng có độ dài 2n.
Nếu như các hình chiếu của các đoạn thẳng đã cho trên đường thẳng ddkhông có điểm chung, thì sẽ có:
a1 + ... +a4n < 2n ( mâu thuẫn ! ) Do đó trên ddphải có 1 điểm, hí hiệu là HHlà hình chiếu của ít nhất 2 điểm trên hai đoạn thẳng đã cho.
Đường vuông góc với ddtại HH( hoặc song song với d'd′và đi qua HH) là đường thẳng cần tìm.
