Trong mặt phẳng cho một tập hợp hữu hạn điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Mỗi tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong số các điểm da cho có diện tích không vượt quá 1.Chứng minh rằng tập hợp các điểm đã cho chứa trong một tam giác có diện tích bằng 4.
Làm được nhưng phải nói là không dễ!
Ta chọn 3 điểm lập thành tam giác có diện tích lớn nhất. Theo giả thiết thì tam giác này vẫn có diện tích <= 1.
Gọi nó là tam giác \(ABC\). Dựng tam giác \(XYZ\) sao cho \(AB,BC,CA\) là 3 đường trung bình của tam giác \(XYZ\).
Diện tích \(XYZ\) bé hơn bằng 4.
Ta CM mọi điểm để cho đều thuộc \(XYZ\). Giả sử có \(T\) ngoài \(XYZ\).
Không mất tính tổng quát xét \(T,X\) khác phía với \(YZ\) (hình vẽ).
Dễ dàng CM được lúc đó diện tích \(TBC\) lớn hơn của \(ABC\) (vô lí vì diện tích \(ABC\) lớn nhất).
Bài toán được CM.
chẳng biết bài làm của Trần Quốc Đạt có đúng không nhưng mình làm như sau:
(tự vẽ hình nha)
-Trong số các tam giác có các đỉnh là các điểm thuộc tập hợp đểm đã cho ta chọn tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
-Qua các đinhe A,B,C vé các đường thẳng x,y,z song song với cạnh đối diện,chúng cắt nhau tạo thanhftam giác A'B'C' nhân A'A,B'B,C'C là các trung tuyến.
=>\(S\left(A'B'C'\right)\le4\)
-Các đường thẳng A'B',B'C'.A'C' chia tập hợp các điểm nằm phía ngoài tam giác ABC thành 6 miền khác nhau.Gọi D là một điểm bts kì thuộc 1 trong số 6 miền trên=>S(DBC)>S(ABC)=>mâu thuẫn.
Do đó D phải nằm bên trong hoặc nằm trên biên của tam giác A'B'C'
=> điều phải chứng minh.
(SAI CHỖ NÀO CHỈ HỘ CÁI NHA)
