Từ M kẻ MK vuông góc với BC; gọi a là độ dài cạnh tam giác; CM =x
ta có MN2 =MK2 +KN2 = (CN-CK)2 +KM2
CK = MCcos60 = x/2; CN = AM = AC -CM = a-x; KM = CMsin60 = \(\frac{x\sqrt{3}}{2}\)
=> MN2 =(a-x -\(\frac{x}{2}\))2 + \(\frac{3}{4}x^2=\)\(a^2-3ax+3x^2=3\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge\frac{a^2}{4}\)
=> MN\(\ge\frac{a}{2}\)
MN nhỏ nhất khi x= CM = \(\frac{a}{2}\) hay M là trung điểm của AC
với a=2014 thì MN nhỏ nhất là \(\frac{a}{2}=\frac{2014}{2}=1007\)
Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, AC của tam giác lần lượt lấy 02 điểm M và N ( không trùng với các đỉnh của tam giác ) sao cho BM = CN.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC; O là giao điểm của AF và BE
1, Chứng minh OM = ON
2. Gọi I là trung điểm của MN. Chúng minh M, N di động trên BC, AC thì điểm I năm trên đoạn È.
3. Tìm vị trí của M, N để độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC đều đường cao AH. Một điểm M bất kì thuộc BC. Kẻ ME, MF vuông góc với AB, AC. I là trung điểm của AM.
a) tứ giác EHIF là hình gì
b) G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh EF, HI, MG đồng quy
c) Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài È đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi cạnh của tam giác ABC đều là bằng a.
Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ MP vuông góc với AB.Gọi O là trung điểm của AM.
a, CM A,P,M,H,Q cùng nằm trên cùng 1 đường tròn
b,Tứ giác OPHQ là hình gì.CM
c,Xác định vị trí của M trên cạnh BC để độ dài PQ nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất đó nếu cạnh tam giác đều là a
Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF.
a) Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều có cùng tâm O với tam giác đều ABC
b) Chứng minh trung điểm I của EF chạy trên một đường cố định khi D , E , F chạy trên ba cạnh AB , BC , CA . Từ đó xác định vị trí của E , F để EF có độ dài nhỏ nhất ?
Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF.
a) Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều có cùng tâm O với tam giác đều ABC
b) Chứng minh trung điểm I của EF chạy trên một đường cố định khi D , E , F chạy trên ba cạnh AB , BC , CA . Từ đó xác định vị trí của E , F để EF có độ dài nhỏ nhất ? ( các bạn giải nhanh hộ mình nhé , mình đang cần gấp )
Cho tam giác abc đều cạnh 4 cm Tìm vị trí điểm m trên bc sao cho diện tích tứ giác adme có giá trị lớn nhất với d và e lần lượt là hình chiếu của điểm m trên ab và ac
cho tam giác đều ABC và M là 1 điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ nhất
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4. Gọi P là trung điểm của AD, Q là điểm trên cạnh AB sao cho AQ = 2√3. Cho điểm M di động trên đoạn thẳng PQ. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MC + MD.
Câu 5. Cho tam giác ABC, đường cao AH, có AB = 6, AC = 8. Góc xHy = 90 độ. Di động sao cho Hx cắt AB tại M và Hy cắt AC tại N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài MN và diện tích tam giác HMN
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Gọi đường vuông góc từ điểm M nằm trong tam giác đến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là MD, ME, MF. Xác định vị trí của M để $\dfrac{1}{MD}+\dfrac{1}{ME}+\dfrac{1}{MF}$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó
