Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dream XD

Tính S theo n ( \(n\in\) N*) 

\(S=2^{n-1}+2.2^{n-2}+3.2^{n-3}+...+\left(n-1\right).2+n\) 

Nguyễn Hoàng Minh
2 tháng 1 2022 lúc 21:43

Ta có \(2S=2^n+2\cdot2^{n-1}+3\cdot2^{n-2}+...+\left(n-1\right)\cdot2^2+2n\\ \Rightarrow2S-S=2^n+\left(2\cdot2^{n-1}-2^{n-1}\right)+\left(3\cdot2^{n-2}-2\cdot2^{n-2}\right)+...+2n-n\\ \Rightarrow S=2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^2+2-n\\ \Rightarrow S=2\left(2^n-1\right)-n=2^{n+1}-\left(n+2\right)\)

Nguyễn Tân Vương
3 tháng 1 2022 lúc 11:09

\(S=2^{n-1}+2.2^{n-2}+3.2^{n-3}+...+\left(n-1\right).2+n\)

\(\text{Đặt:}S_n=1.2^{n-1}+2.2^{n-2}+3.2^{n-3}+...+\left(n-1\right).2^1+n\left(1\right)\text{ Với }n\ge1\)

\(\text{Dễ thấy:}S_1=1\)

\(\text{Từ (1) ta có:}\)

\(2S_n+\left(n+1\right)=1.2^n+2.2^{n-1}+3.2^{n-2}+...+\left(n-1\right).2^2+n.2^1+\left(n+1\right)=S_{n+1}\) \(\Rightarrow S_n=2.S_{n-1}+n\)

\(\Leftrightarrow\left(S_n+n+2\right)=2\left(S_{n-1}+\left(n-1\right)+2\right)=2^2\left(S_{n-2}+\left(n-2\right)+2\right)=...=2^{n-1}\left(S_1+\left(1\right)+2\right)=2^{n-1}.4=2^{n+1}\)\(\text{ Do đó ta có:}S_n=2^{n+1}-\left(n+2\right)\)


Các câu hỏi tương tự
thanh nguyen van long
Xem chi tiết
Naruto Uzumaki
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Dương
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Đức Vương Hiền
Xem chi tiết
Nguyên Hưng Trần
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Tagami Kera
Xem chi tiết
Trần Quốc Tuấn hi
Xem chi tiết