Ta có \(\sqrt{\left(1+2x\right)^2}\)= 1 + 2x (1)
+ \(\sqrt{\left(1-2x\right)^2}\)= 1 - 2x (2)
(1) +(2) = 2
Có \(\sqrt{1+2x}.\sqrt{1-2x}\)= \(\sqrt{1-4x^2}=\frac{1}{2}\) (3)
Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\)\(\left(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}\right)^2\)= 3 \(\Rightarrow\)\(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}\)=\(\sqrt{3}\) (4)
\(\left(\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}\right)^2\)= 1 \(\Rightarrow\) \(\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}\)= 1 (5)
Có M= \(\frac{\left(1+2x\right).\left(1-\sqrt{1-2x}\right)+\left(1-2x\right).\left(1+\sqrt{1+2x}\right)}{\left(1+\sqrt{1+2x}\right).\left(1-\sqrt{1-2x}\right)}\)
Xét TS= \(1-\sqrt{1-2x}+2x-2x.\sqrt{1-2x}+1+\sqrt{1+2x}-2x-2x.\sqrt{1+2x}\)
= 2+ \(\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-2x}\)- 2x\(\left(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}\right)\)
Thay (4), (5) và x vào TS ta có TS= \(2+1-2.\frac{\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\frac{3}{2}\) (6)
Xét MS=\(1-\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-4x^2}\)
Thay (5) và x vào MS ta có MS= \(1+1-\frac{1}{2}\)=\(\frac{3}{2}\) (7)
Từ (6),(7) ta có giá trị của M= 1
